Statistik 2 (Fach) / Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten (Lektion)

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• Irrtumswahrscheinlichkeit Risiko einer fälschlichen Annahme oder Zurückweisung einer Theorie bzw. einer Hypothese
• La-Place WSK Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind
• Kombinatorik: wozu & welche verschiedenen Modelle gibt es? um Anzahl möglicher Ereignisse beim n-fach wiederholten Zufallsexperiment zu finden > Urnenmodell  > Modell mit Zurücklegen (mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) > Modell ohne Zurücklegen (mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)
• Permutation: was ist das & bei welchem Modell? beim Modell ohne Zurücklegen Permutation = eine mögliche Anordnung / Reihenfolge von k Elementen  > bei k Elementen gibt es genau k! Permutationen
• Binomealkoeffziient ohne Zurücklegen, ohne Beachten der Reihenfolge BSP: 5 Schüler von 25 --> 25 über 5 k=25  n = 5
• 3 Axiome von Kolmogoroff Anforderungen an die Zahlenordnung zur Bewertung der Chancen eines Ereignisses -> sodass sie WSK genannt werden können 1) Nichtnegativität: (PA) >/= 0  2) Normiertheit: Wsk können maximal den Wert 1 annehmen  3) Additivität: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -> Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei unvereinbaren Ereignissen entweder das eine oder das andere eintritt, ist gleich der Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten
• bedingte Wahrscheinlichkeit Wsk für das Eintreten eines Ereignisses A, wenn ein Ereignis B bereits eingetreten ist  P(A l B) -> Wsk für A gegeben B  P (A ∪ B) -> Wsk Kombination A und B
• Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines anderen Ereignisses nicht beeinflusst P (A l B) = P (A)  P (B l A) = P (B) P (A ∪ B) = P(A) x P(B) -> Multiplikationstheorem
• Bayes Theorem Beschreibt bedingte Wahrscheinlichkeiten BSP: Wsk für A unter Bedingung B  B unter B B unter nicht A ...
• Definition Zufallsvariable beschreibt unterschiedliche Ergebnisse eines Zufallsvorgangs mithilfe des Zahlenraums in der Menge Ω' Es wird unterschieden zwischen:  a) endliche Anzahl der Ergebnisse -> diskrete Zufallsvariable  b) unendliche  Anzahl der Ergebnisse -> stetige / kontinuierliche Zufallsvariable
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• was ist eine diskrete Zufallsvariable kann nur endliche oder abzählbare Werte annehmen -> Zuordnung der möglichen Ergebnisse zu allen möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen X (diese haben unterschiediche Auftretenswahrscheinlichkeiten)
• Unabhängigkeit zweier diskreter Zufallsvariablen P(X=xi;Y=yi) = P(X=xi) x P(Y=yi) -> Wsk, dass X den Wert x annimmt // dass Y den Wert y annimmt) 
• Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariablen + was sind die Kennwerte Funktion: wenn man die kumulierten Wahrscheinlichkeiten grafisch darstellt  > F(x) weist jedem Wert x die Summe aller Warscheinlichkeiten P (X=xi) zu -> ABER: nur den Werten, die kleiner oder gleich einem x-Wert sind  Kennwerte: 1) Erwartungswert E (kennzeichnet Lage einer theoretischen Verteilung von Zufallsexperiment, ohne dass es konkret durchgeführt wurde) 2) Modalwert (bestes Maß der zentralen Tendenz)  3) Median (Wert, der die Verteilung in ca. 2 Hälften teilt)  4) Varianz (Variabilität der Verteilung)  5) Standardabweichung 6) Quantile (für statistisches Überprüfen) (X=xi) Vv
• 6 Verschiedene Arten von Verteilungen diskreter Zufallsvariablen 1) Gleichverteilung (alle Wsk sind gleich)  2) Bernoulliverteilung (wenn Zufallsvariable nur zwei Werte annehmen kann) 3) Binomialverteilung (n-fache Wiederholung eines Zufalls-/Bernoulliexperiments -> Urnenziehen mit ZL) 4) Multinomialverteilung (für Zufallsexperiment, hat mehrere mögliche Ausprägungen -> Erweiterung der Binomialverteilung) 5) Geometrische Verteilung (Zufallsvariable ist Anzahl der Versuche, bis Ereignis eintritt) -> Urnenziehen ohne ZL) 6) Poisson Verteilung (Zufallsvariable ist Anzahl bestimmter Ereignisse innerhalb eines definierten Zeitintervalls)
• Definition STETIGE Zufallsvariable eine Variable, bei der zwischen 2 beliebigen Werten (Obergrenze xo & Untergrenze xu) unendliche viele Werte liegen können BSP: Körpergewicht -> ist gemessen mit unendlich genauen Waage  (je geringer das Intervall, desto geringer die WSK dass Wert X in diesem Intervall liegt)
• Dichtefunktion (für STETIGE Zufallsvariablen) Integration, wenn Kategorienbreite d immer kleiner wird und irgendwann gegen 0 geht (d -> 0) sodass es unendliche Kategorien gibt (k -> ∞)  > damit Wsk P = Fläche unter Verteilung/unter der Dichte bzw Fläche zwischem Intervall (xu, xo) und der darüberliegenden Funktion
• Verteilungsfunktion für STETIGE Zufallsvariablen + Kennwerte Wenn Wsk gesucht ist, mit der eine Persön höchstens einen Wert von X aufweist -> das entspricht de, Flächenanteil, der zwischen -∞ und x liegt (man spricht nicht von WSK einer Ausprägung xi, sondern von der Dichte der Zufallsvariablen X) Kennwerte: Erwartungswert  Modus (x-Wert, für den f(x) ein Maximum besitzt)  Median (x-Wert, der das 0,5 Quantil beschreibt) Varianz
• 3 verschiedene Arten der Verteilung STETIGER Zufallsvariablen 1) stetige Gleichverteilung (innerhalb eines Intervalls haben alle Werte denselben Dichtewert // Dichte f(x) ist konstant, daher befindet sich x immer innerhalb des Intervalls)  2) Exponentialverteilung (wenn geringere Ausprägungen von X eine höhere Dichte haben als große Ausprägung von X -> je größer x, desto weiter geht Dichte gegen 0) 3) Normalverteilung/Gauß-Verteilung (ist symmetrisch & glockenförmig // Standardisierung: z-Transformation um normalverteilte Zufallsvariable Z zu erhalten)

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