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M2_Statistik (Fach) / Übungen (Lektion)

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  • Univariate Statistik Beschreibung einzelner Variablen 
  • Merkmal Merkmalsausprägung Merkmal - das, was untersucht wird (die Frage) Merkmalsausprägung - der Wert auf die konkrete Frage
  • 1.Absolute Häufigkeiten 2.Relative Häufigkeiten 3.Prozentwerte 4.Kumulierte absolute Häufigkeiten 5. Kumulierte relative Häufigkeiten 6. Kumlierte Prozentwerte 7. Kombinationen 1. Anzahl aller Merkmalsausprägungen einer Variable table(piraten$meer) 2. Gesamtzahl der Objekte relativierten Häufigkeiten prop.table(table(piraten$meer)) 3. prop.table(table(piraten$meer))*100 4. wie viele Personen eine bestimmte Merkmalsausprägungoder eine niedrigere (oder höhere) Merkmalsausprägung aufweisen. cumsum(table(piraten$schiffe)) 5. der Anteil der Objekte... die eine entsprechende Merkmalsausprägung oder eine niedrigere Merkmalsausprägungaufweisen cumsum(prop.table(table(piraten$schiffe))) 6. cumsum(100*prop.table(table(piraten$schiffe)))  7. mittels cbind(table(piraten$meer), prop.table(table(piraten$meer)), 100*prop.table(table(piraten$meer)))
  • Maße der zentralen Tendenz Modalwert: Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt which.max(table(piraten$meer)) Median: Dieser Wert ist derjenige, der in der Mitte der Verteilung liegt, für den also gilt, dass mindestens 50 % der Werte kleiner oder gleich diesem Wert und mindestens 50 % der Werte größer oder gleich diesem Wert sind. median(piraten$schiffe, na.rm = T) Arithmetisches Mittel: mean(piraten$alter, na.rm = T)
  • Streuungsmaße Streubereich: range(piraten$alter, na.rm = T)  diff(range(piraten$alter, na.rm = T)) Quartile: quantile(piraten$schiffe, na.rm = T)  Interquartilsbereich: IQR(piraten$schiffe, na.rm=T) Perzentile: quantile(piraten$schiffe, 0.10, na.rm=T)  Prozentrang: viel Prozent der Verteilung über- bzw. unterhalb dieses Wertes liegen library(stats), ecdf(piraten$alter)(40) plot.ecdf(x) Varianz: Mittelwert der quadrierten und aufsummiertenAbweichungen der Messwerte von ihrem Mittelwert var(piraten$schiffe, na.rm = T) Standardabweichung: Quadratwurzel der Varianz sd(piraten$schiffe, na.rm=T)
  • Unterschied Stichprobenvarianz Populationsvarianz Stichprobenvarianz: Quadratsumme durch n Populationsvarianz: Quadratsumme durch n-1 inR: Varianz: var(piraten$schiffe, na.rm = T)*(length(piraten$schiffe)-1)/length(piraten$schiffe) SD: sqrt(var(piraten$schiffe, na.rm = T)*(length(piraten$schiffe)-1)/length(piraten$schiffe))
  • Boxplot mit ggplot boxplot_schiffe + geom_boxplot() + stat_boxplot(geom="errorbar", width=0.5) + labs(x="", y="Anzahl der versenkten Schiffe") + scale_y_continuous(breaks = seq(0,8,1))
  • Getrimmtes arithmetisches Mittel mean(piraten$schaetze, na.rm = T, trim=.02) berücksichtigt einen Prozentsatz der Werte oben und unten nicht
  • Median der absoluten Abweichungen vom Median Beträge der Abweichungen der Werte vom Median berechnet und vondiesen Beträgen der Median gebildet. mad(piraten$schaetze, na.rm = T)
  • R-Befehle 2 mal: Kennwerte für Subgruppen von Stichproben describeBy(piraten$gefahr, piraten$meer) by(piraten$gefahr, piraten$meer, mean, na.rm=T)
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  • Zusammenhänge zwischen zwei intervallskalierten Variablen Produkt-Moment-Korrelation: Kovarianz (Anzahl der Messwertpaare geteilte Summe der Produkte der Differenzen der x- und y-Werte von ihrem jeweiligen Mittelwert) PMK: Kovarianz/Produkt der Standardabweichungen  cor(piraten$gefahr, piraten$schiffe, use="pairwise.complete.obs") cor(piraten[c("gefahr", "schiffe", "alter")], use="pairwise.complete.obs")
  • Lineare Regression Prädiktor: UV Kriterium: AV ... Kriteriumswerte auf der Grundlage der Prädiktorwerte möglichstgut vorhersagt. Diese Gerade wird als Regressionsgerade bezeichnet
  • Schätzung der Regressionsgeraden Kriterium der kleinsten Quadrate: Die Regressionsgerade wird so geschätzt, dass die Summe der quadrierten Abweichung dergeschätzten y-Werte ( ) von den tatsächlichen y-Werten möglichst klein ist. b_yx = Regressionskoeffizient a_yx = y-Achsenabschnitt b_yx * mean(x) + a_yx = mean(y)
  • Beziehung Korrelation Regressionskoeffizient b_yx = r_xy*(sd_y/sd_x)
  • Darstellung Regressionsgerade lm(piraten$schiffe ~ piraten$gefahr)
  • Erklärung R-Ausgabe bei lm-Befehl #### Call:## lm(formula = piraten$schiffe ~ piraten$gefahr)#### Coefficients:## (Intercept) piraten$gefahr## 0.9263 0.5132 Intercept: y-Achsenabschnitt a_yx Geradengleichung: Schiffe_y = 0.5132*Gefahr + 0.9263
  • Standardisierte Regressionskoeffiziente beta : Kovarianz/Standardabweichung_x^2 Standardisierung:  lm.beta(lm(piraten$schiffe ~ piraten$gefahr)) entspricht PMK
  • Güte der Vorhersage Determinationskoeffizient Zerlegung der Streuung des Kriteriums in de Residualvarianz (Streuung um die tatsächlichen y-Werte, Residuen) und die Regressionsvarianz (Streeung der vorhergesagten Werte um Mittelwert y, Kriterium) Determinationskoeffizient R2: Regressionsvarianz/Gesamtvarianz cor(piraten$gefahr, piraten$schiffe, use="pairwise.complete.obs")^2
  • Zusammenhänge zwischen zwei dichotomen Merkmalen Kreuztabelle: table(piraten$schwimmen, piraten$besitzer_in) CrossTable(piraten$schwimmen, piraten$besitzer_in, prop.chisq=F) Phi-Tabelle: phi(table(piraten$schwimmen, piraten$besitzer_in))
  • Zusammenhänge zwischen ordinalskalierten Variablen Rangkorrelationskoeffiziente. bei gleichen Werten: Rangbindung Kendalls Tau cor(piraten$gefahr, piraten$schiffe, method="kendall", use="pairwise.complete.obs") Spearmans Rho cor(piraten$gefahr, piraten$schiffe, method="spearman", use="pairwise.complete.obs")
  • Konfidenzintervalle Grenzen: Mittelwert plusminus sd*t-Wert je größer stichprobe desto enger das intervall je größer konfidenzlevel desto breiter das intervall CI(piraten$schaetze) CI(piraten$schaetze[!is.na(piraten$schaetze)], ci=.90)
  • t-Test: Arten Prüfgröße unabhängige Stichproben: Vergleich zweier MW abhängige Stichproben: Vergleich zweier MW eine Stichprobe: Vergleich MW aus vorgegebenem Mittelwert Prüfgröße: MW_Differenz - (mü_x-mü_y [Abweichung Nullhypothese]/Standardabweichung zwischen beiden MW  t.test(piraten$gefahr ~ piraten$besitzer_in)
  • t-Test Obergrenze Bayes-Faktor Shannon-Information Bayes-Faktor: 1/(-exp(1)*0.00046*log(0.00046)) 1/(-exp(1)*t.test(piraten$gefahr ~ piraten$besitzer_in)$p.value*log(t.test(piraten$gefahr ~ piraten$besitzer_in)$p.value)) Shannon: -log2(t.test(piraten$gefahr ~ piraten$besitzer_in)$p.value
  • Gerichtete Hypothesen alternative = "greater" - 1. Gruppe hat größeren Mittelwert "less" - 1. Gruppe hat kleineren Mittelwert
  • ANOVA Voraussetzung Die abhängige Variable muss intervallskaliert sein (logisch, weil Mittelwerte miteinanderverglichen werden und die Interpretation von Mittelwerten erst ab Intervallskalenniveausinnvoll ist). Die Varianzen in den Gruppen müssen gleich groß sein (Varianzhomogenität, wen es näherinteressiert: s. Tutorial zur Überprüfung von Testvoraussetzungen). Die Gruppen müssen unabhängig sein. Die Messwerte innerhalb jeder Gruppe müssen normalverteilt sein (wen es näherinteressiert: s. Tutorial zur Überprüfung von Testvoraussetzungen).
  • ANOVA Prüfgröße F = geschätzte Varianz zwischen den Gruppen/geschätzte Varianz innerhalb der Gruppe
  • ANOVA: R-Befehl und Output summary(aov(piraten$gefahr ~ piraten$meer)) ##                   Df  Sum   Sq Mean Sq F  value Pr(>F)## piraten$meer 2 50.54   25.270 8.523 0.000437 ***## Residuals 81    240.16   2.965## ---## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Zählerfreiheitsgrade: Anzahl der Gruppen - 1 Nennerfreiheitsgrade: Anzahl der Fälle (Zeilen) minus Anzahl der Gruppen Zählerquadratsumme: Summe der quadrierten Abweichungen der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert  Nennerquadratsumme: Summe der quadrierten Abweichungen der Messwertevon ihrem Gruppenmittelwert Mittelquadrate:Quadratsumme geteilt durch die zugehörigen Freiheitsgrade,  
  • Inferenzstatistik der Regression und Korrelation t-Test PMK Die korrelierten Merkmale müssen intervallskaliert sein.Die Merkmale müssen bivariat normalverteilt sein (s. Grafik bei Sedlmeier & Renkewitz,2018, S. 419). Die Nullhypothese lautet: Die Korrelation beträgt 0. cor.test(piraten$gefahr, piraten$schiffe, use="pairwise.complete.obs")
  • z-Test Wenn man einen Korrelationskoeffizienten nicht gegen einen Korrelationskoeffizienten von 0 prüfenmöchte, sondern gegen einen anderen Korrelationskoeffizienten (also z. B. überprüfen möchte, obdie Korrelation größer ist als .3), kann man keinen t-Test verwenden, sondern muss stattdesseneinen z-Test verwenden.
  • t-Test Regressionskoeffizienten summary(lm(piraten$schiffe ~ piraten$gefahr))
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  • F-Test für die Gesamtgüte des Regressionsmodells Abweichung der Regressionsgeraden vom Mittelwert des Kriteriums Regressionsquadratsumme. Abweichung der tatsächlichen Werte des Kriteriums von den vorhergesagten Werten Fehlerquadratsumme Gesamtquadratsumme F-Wert: Regressionsquadratsumme / Fehlerquadratsumme
  • Chi-Quadrat-Test Voraussetzungen Der Chi-Quadrat-Test für zwei Variablen prüft, ob zwischen zwei nominalskalierten Variablen einZusammenhang besteht. Jede Untersuchungseinheit muss innerhalb der Variablen eindeutig einer bestimmtenMerkmalsausprägung zugeordnet werden können.Die Beobachtungen müssen voneinander unabhängig sein.
  • R-Befehl: Chi-Quadrat-Test chisq.test(table(piraten$besitzer_in, piraten$meer)) #### Pearson's Chi-squared test#### data: table(piraten$besitzer_in, piraten$meer)## X-squared = 27.145, df = 2, p-value = 1.275e-06 die Art des durchgeführten Tests: Pearsons Chi-Quadrat-Testdie verwendeten Daten: die Kreuztabelle mit den Variablen besitzer_in und meerden Chi-Quadrat-Wert: 27.145die Freiheitsgrade (df): 2

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