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Statistik 2 (Fach) / Bivariate Zusammenhänge (Lektion)
Signifikantests der verschiedenen Korrelationen und bivariater Zusammenhänge
Diese Lektion wurde von malinpaschen erstellt.
- Bivariate Normalverteilung Nicht nur Randverteilungen müssen normalverteilt sein, sondern auch alle bedingten Verteilungen Normalverteilungen sein, d.h. für jeden beliebigen festen x‐Wert müssen die zugehörigen y‐Werte normalverteilt sein und umgekehrt. Statt bedingter Verteilung finden sich auch die Bezeichnung konditionale Verteilungen oder Array‐Verteilungen. --> Die Dichte der bivariaten Normalverteilung hängt von 5 Parametern ab: µ(x),µ(y),sigma(X), sigma(y) und p Test: Lille-fors, da der Signifikanztest robust gegenüber Verletzungen der bivariten Normalverteilung ist
- Signifikanztest für die Produkt-Moment Korrelation Einsatzbereich: Prüfung der Hypothese, dass die Produkt‐Moment Korrelation zwischen zwei metrischen Variablen X und Y ungleich einem festen Wert p0 ist. Meist wird p0 = 0 betrachtet, d.h. es wird die Hypothese geprüft, das X und Y linear unabhängig sind. Hypothese: allgemein zweiseitig: H0: p0 = p0 und H1: p0 ≠ p0 oder entsprechend einseitig. Voraussetzungen: Die beiden metrischen Variablen X und Y müssen sich bivariat normalverteilen Vorgehen: df = n-2, t-verteilte Prüfgröße = r-p(0) / sigma(r) Entscheidung: Zurückweisung, wenn t > tcrit—> Bei Statistikprogrammen auch die F-Prüfgröße (df=1, df=k) —> Je stärker p0 von 0 abweicht (und je kleiner n ist), desto schiefer ist die Stichprobenkennwerteverteilung unter der H0. Durch die Fisher-Z-Transformation kann eine Symmetrisierung der Stichprobenkennwerteverteilung erzielt werden.
- Fisher-Z-Transformation Dient der Symmetrisierung der Stichprobenkennwerteverteilung. Problem: Weder ist r ein erwartungstreuer Schätzer von p noch Z(r) von Zp; D.h. der Erwartungswert der Z‐transformierten Korrelationen ist nicht gleich der Z‐Transformation der Populationskorrelation. Bei größerem n ist der (unterschätzende) Bias aber klein; daher werden üblicherweise keine Korrekturen vorgenommen. Angewandt bei: 1. wenn die Korrelation sich signifikant von einem Wert p0≠0 unterscheidet, somit wird eine approximierte normalverteilte Prüfgröße berechnen 2. Unterscheiden sich die Korrelationen zweier Variablen X und Y mit den Werten r1 und r2 aus zwei unabhängigen Gruppen (mit Stichproben-umfängen n1 und n2) statistisch signifikant voneinander3. Berechnung eines Konfidenzintervalls um Z, welches dann zur r-Metrik zurückgerechnet wird: Z(r) +- z(1-a/2)* √1/n-34. der Mittelung von k Korrelationen —> alle Korrelationen Fisher‐Z transformiert und dann, gewichtet mit dem Stichprobenumfang & dann in die r-Metrik zurückrechnen
- Signifikanztest für Kendall t = t(a) Einsatzbereich: Prüfung der Hypothese, dass Kendalls t(a) zwischen zwei mindestens ordinalskalierten Variablen X und Y ungleich 0 istHypothesen: Allgemein zweiseitig: H0: T = 0 und H1: T ≠ 0 oder entsprechend einseitig (mit T als Korrelation in der Population)Voraussetzungen: Die beiden mindestens ordinalskalierten Variablen X und Y weisen keine Ties aufVorgehen: Unterschiedlich normierte Nenner mit Zähler als Differenz aus Concordanten und DIscordanten Paaren; Bei n > 10 verteilen sich die Variablen normal; Prüfgröße Z erstellen mit der Differenz im Zähler und dem Standardfehler von (C-D) im Nenner —> Teilweise noch eine weitere Kontinuitätskorrektur = IC - DI -1 Entscheidung: Zurückweisung der H0, falls z > zcrit mit zcrit = z1 bei zweiseitiger Prüfung und zcrit = z1 bei einseitiger Prüfung (und korrekter Richtung).
- Exakter Test für Rangkorrelationen Bei kleineren Stichproben = Exakter TestFür alle n! Möglichen Permutationen der Daten jeweils den T(a) Koeffizienten berechnen; Prüfen ob der empirisch gegebene t-Wert zu den extremsten 100*a/2 % auf beiden Seiten der so erzeugten Stichprobenkennwerteverteilungen gehört
- Signifikanztest für bivariate lineare Regression Fragestellungen: (Ob Regressionskoeffizienten a und b signifikant von 0 verschieden sind, a ist meist nicht von Interesse; b ist signifikant, wenn r signifikant ist) Konfidenzintervall um einen vorhergesagten Wert!! —>Vorhersage, dass mit einer statistischen Sicherheit ein bestimmter Wert eintreffen wirdVoraussetzungen: Bivariate Normalverteilung beider Variablen (+ Varianzhomogenität) Vorgehen: Vorhersageintervall um den Wert errichten: Man erkennt, dass das Konfidenzintervall immer breiter wird, je stärker xp vom Mittelwert abweicht. —> Wert ist präziser umso näher der Prädiktorwert am Mittelwert liegt
- Exakte Tests Vorgehen: Für alle n! Möglichen Permutationen der Daten jeweils den T(a) Koeffizienten berechnen; Prüfen ob der empirisch gegebene t-Wert zu den extremsten 100*a/2 % auf beiden Seiten der so erzeugten Stichprobenkennwerteverteilungen gehört Voraussetzung: Wenn n<10 ist, so verteilt sich die standardnormalverteilte Prüfgröße von tau(a) nicht normalverteilt. Somit muss ein exakter test berechnet werden, da solche Tests die Signifikanztestung ermöglichen, ohne dass man die Verteilungsform der Prüfgröße kennen muss
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