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Muva (Fach) / Faktorenanalyse (Lektion)

Diese Lektion wurde von Amalaswinthaa erstellt.

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• Grundprinzip Bei der Faktorenanalyse werden die Beziehungen zwischen mehreren Faktoren (= latenten Variablen) und den beobachtbaren Variablen dargestellt. • Im Optimalfall erfasst jede beobachtete Variable nur einen Faktor (bzw. latente Variable).
• Ziel der exploratorischen Faktorenanalyse - Info vieler Variablen soll zusammengefasst werden - Wieviele Faktoren werden benötigt, um die Zusammenhänge zwischen beobachteten Variablen zu beschreiben bzw. zu erklären? - Wie können diese Faktoren interpretiert werden?
• Exploratorische Faktorenanalyse - Datenbasierter Ansatz - keine Vorannahmen über Anzahl an Faktoren und die Beziehungen zwischen Indikatoren und Faktoren -Ziel: explorativ, deskriptiv bestimme die angemessene Anzahl an Faktoren frühes Stadium der Testkonstruktion und Konstruktvalidierung
• Konfirmatorische Faktorenanalyse - theoriebasierter Ansatz - konkrete Vorannahmen über die Anzahl an Faktoren und die Beziehungen zwischen Indikatoren und Faktoren - Ziel: bestätige ("confirm") eine spezifische Faktorenstruktur spätes Stadium der Testkonstruktion und Konstruktvalidierung
• Prinzip der Faktorenanalyse Variablen werden gruppiert; Basis = Korrelationen zwischen den Variablen - Variablen, die wechselseitig hoch miteinander korrelieren, werden einem Faktor zugeordnet, Korrelationen können positiv oder negativ sein - Variablen die gering mit einander korrelieren, werden unterschiedlichen Faktoren zugeordnet - nur sinnvoll, wenn es substantielle Korrelationen zwischen den Variablen gibt - Eignung der Variablen kann empirisch geprüft werden: Bartlett Test (muss signifikant sein, H1: es gibt in der Population Korrelationen) Kaiser-Meyer-Olkin-Kriterium (muss auf jeden Fall > 0.5, möglichst > 0.8 sein)
• Basics zu Korrelationen - Gruppierung basiert auf Korrelationen der Variablen - Korrelationen können nur dann berechnet und interpretiert werden, wenn es Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt Personen, die die Fragen beantworten müssen sich unterscheiden Fragen müssen sich unterscheiden --> wenn alle Fragen gleich beantwortet werden, können nicht mehrere Faktoren entstehen
• Grundgleichung - Ausprägung jeder manifesten Variable Yi ergibt sich durch eine Linearkombination der latenten Variablen/Faktoren und die Residualvariable Yi = αi + λi1η1 + ... + λijηj + ... + λikηk + εi     i = beobachtete Variablen, j = Faktor - Variablen werden so gebildet, dass sie maximale Varianz der Variablen repräsentieren - erste Faktor beinhaltet maximale Varianz aller Variablen, der zweite maximale Varianz der Residuen etc.
• Faktorenanalyse vs. Hauptkomponentenanalyse - FA: latente Variablen finden, die für den Zusammenhang der manifesten Variablen verantwortlich sind, Faktoren sollen deshalb nur die gemeinsame Varianz abbilden Ziel: Finden der Faktoren, Erklärung - PCA: das Gemeinsame der Variablen erfassen, möglichst viel Varianz aller Variablen durch eine geringe Anzahl an Faktoren abbilden Ziel: Zusammenfassung, Beschreibung, Datenreduktion
• Schritte der exploratorischen Faktorenanalyse 1. Auswahl der Variablen (Fragen/Items) wichtig: substantielle Korrelationen der Variablen 2. Extraktion der Faktoren 3. Bestimmung der Anzahl an Faktoren 4. Rotation der Faktoren 5. Interpretation der rotierten Faktoren 6. Ggf. Bestimmung von Faktorwerten (Stärke&Ausprägungen der Faktoren für jede Person)
• 1. Schritt: Variablenauswahl - jede Dimension soll durch mehrere Indikatoren (Variablen, Fragen) erfasst sein - Variablen sind repräsentativ für den Themenbereich --> nur die Grunddimensionen können entdeckt werden, die in den Variablen enthalten sind - Stichprobe ist repräsentativ für den Themenbereich --> nur das was zwischen den Personen variiert, kann als Dimension entdeckt werden - Korrelation der Variablen - Kommunalitäten dürfen nicht wesentlich geringer sein als die Reliabilität, da sonst zu große Variablenspezifische Varianzanteile vorliegen (d.h. Residualvariable möglichst nur Messfehler, hohe Korrelationen, Homogenität)
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• Kommunalität einer Variablen - Kommunalität = Anteil einer manifesten Variable, der durch die latenten Variablen bestimmt wird - der durch die Faktoren bestimmte Varianzanteil - gibt an, in welchem Ausmaß die Varianz dieser Variablen durch die Faktoren erklärt wird - Summe der quadrierten Ladungen einer Variablen über alle Faktoren - Maximum: 1 (da Gesamtvarianz jeder Variablen auf 1 normiert wird)
• Korrelationen/Kovarianzen/Skalierung - meist interessiert man sich nicht für die Skalierung der Faktoren --> z-transformieren - Alle Variablen haben Varianz = 1 - alle Variablen und Faktoren haben Mittelwert = 0 - als Basis der Berechnung Korrelationen statt Kovarianzen benutzen, dann spart man sich die z-transformation (Korrelationen sind Kovarianzen z-standardisierter Variablen)
• 3 Methoden der Faktorenanalyse - Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse - Hauptachsenanalyse - Hauptkomponentenanalyse (PCA) --> am häufigsten angewandt, aber keine FA im eigentlichen Sinne Gemeinsamkeiten und Basis: z-Werte bzw. Korrelationen
• Schritt 2: Extraktion der Faktoren 1. gleiche Anzahl an Faktoren wie Variablen bilden 2. Faktoren werden so gebildet, dass der erste Faktor maximale Varianz erklärt, der zweite orthogonal dazu ist und maximale Residualvarianz erklärt etc.  3. Bestimmten, welche Fakoren weggelassen werden können 4. Anzahl Faktoren ist maximal Anzahl Variablen
• Wie genau werden die Faktoren gebildet? Beispiel mit 2 Variablen - Wert aller Personen auf den beiden Variablen soll zunächst über nur einen Faktor abgebildet werden - Faktor wird so definiert, dass er möglichst viel Info beider Variablen aufklärt --> fasst die Info von 2 Variablen/Dimensionen auf einem Faktor/einer Dimension zusammen - es bleibt noch ein Rest Information, diese kann durch Faktor 2 erklärt werden --> muss rechtwinklig zu Faktor 1 sein, also muss er durch den Ursprung gehen - wenn weniger Faktoren als Variablen extrahiert werden, wird die durchd die Faktoren aufgeklärte Varianz im Regelfall < 100% sein
• Facts zu Faktoren - Faktoren = latente Variablen - jeder Faktor muss durch mehrere manifeste Variablen erfasst werden - Faktoren sind für die Ausprägung der manifesten Variablen verantwortlich - ein Faktor enthält die Info mehrerer manifester Variablen
• Eigenwert eines Faktors j - gibt an, weiviel Gesamtvarianz aller Variablen durch einen bestimmten Faktor erklärt wird - Summe der quadrierten Ladungen aller Variablen auf diesem Faktor - 0 - Max: (Max = Anzahl an Variablen) --> da alle Variablen durch Standardisierung eine Varianz von 1 haben j = ∑pi=1 λij2
• Faktorladung einer Variablen - Gewichtungskoeffizient eines Faktors für eine Variable in der Gleichung - orthogonale Faktoren: Korrelation einer Variable mit einem Faktor - Wertebereich: -1 - 1 "Variable lädt hoch oder niedrig auf diesem Faktor" - Welche Variable gehört zu welchem Faktor? Was bedeutet der Faktor? - Bei der Interpretation: nur Ladungen > .30/.40
• Schritt 3: Bestimmung der Anzahl an Faktoren - Kriterien: Eigenwertverlauf, ggf. auch Kommunalitäten, aufgeklärte Varianz, Interpretierbarkeit - Eigenwerte der Faktoren nehmen sukzessiv ab - Kaiser Kriterium: alle Eigenwerte > 1 (warum --> Varianzaufklärung einer Variablen) - Scree-Test: alle Faktoren links von einem Knick/Wendepunkt beibehalten - Parallelanalyse: Vergleich des Eigenwerteverlaufs mit den Eigenwerden von Zufallszahlen, in denen keine Korrelationen vorliegen - Interpretierbarkeit: Welche Lösung lässt sich am besten inhaltlich interpretieren
• Schritt 4: Rotation der Faktoren - viele Lösungen führen zu gleich guten Ergebnissen - Rotation, um einfache Interpretierbarkeit sicherzustellen - Ziel = Einfachstruktur --> jede Variable lädt nur auf wenigen Faktoren, dafür aber hoch - orthogonale Rotation --> Faktoren bleiben orthogonal - oblique Rotation --> korrelierte Faktoren können entstehen, weniger Restriktionen, kann das Kriterium der Einfachstruktur besser erfüllen
• Orthogonale Rotation - Faktoren werden so im Raum gedreht, dass die einzelnen Variablen sich möglichst gut zuordnen lassen - Varimax-Kriterium nach Kaiser maximale Varianz der Ladungen pro Faktor maximiert die Summe der quadrierten Ladungen alle Variablen haben sehr hohe Ladungen auf einem/wenigen Faktoren und ansonsten Ladungen nahe Null - Quartimax
• Oblique Rotation - Korrelationen zwischen den Faktoren werden zugelassen - rotierte Faktoren so bilden, dass die Einfachstruktur möglichst gut erreicht wird - Entscheidung zwischen orthogonal und oblique inhaltlich begründen - Häufigste Verfahren: Quartimin, Oblimin und Promax Rotation
• Einfachstruktur im Ladungsdiagramm Ladungen der einzelnen Variablen auf den Faktoren im Ladungsdiagramm visualisieren Faktoren nach der obliquen Rotation werden ebenfalls rechtwinklig dargestellt, obwohl sie nicht orthogonal sind --> Variablen mit niedriger Ladung auf einem Faktor können dennoch Korrelationen zu diesem Faktor aufweisen
• Schritt 5: Interpretation der Faktoren - Interpretation der inhaltlichen Bedeutung erfolgt über die Variablen, die hoch auf dem jeweiligen Faktor laden - dazu Matrix der rotierten Faktorladungen betrachten
• Faktorwerte (einer Person) - kennzeichnet die Position einer Person auf einem faktor - Wertebereich: standardisierte Werte mit M = 0, S = 1 (pro Faktor) - Wie sehr weist die Person die Eigenschaften des Faktors auf? - Informationsreduktion: jede Person kann statt durch ihre Ausprägung auf vielen manifesten Variablen durch ihre Ausprägungen auf wenigen Faktoren charakterisiert werden
• Kommunalitätenproblem der FA - Woher weiß  man, welche Anteile der Variablen spezifisch und welche durch die gemeinsamen Faktoren bedingt sind? - Iterative Schätzung aufgrund der multiplen Korrelation einer Variablen mit allen anderen Variablen
• Kommunalitätenproblem: FA vs. PCA - Wieviel Varianz einer Variablen soll durch die Faktoren aufgeklärt werden? --> Maximal 1 - Tatsächlich wird 1 i.d.R. nur erreicht, wenn so viele Faktoren wie Variablen extrahiert werden - PCA: Kommunalitäten anfänglich auf 1 festsetzen, da maximale Varianz aller Variablen aufgeklärt werden soll - FA: Kommunalitäten werden inhaltlich begründet oder aus den multiplen Determinationskoeffizienten geschätzt --> Faktoren sollen nur die gemeinsame Varianz (=Kovarianz) erfassen Kommunalitäten und Faktorladungen bei PCA höher als bei FA
• Maximum Likelihood Faktorenanalyse - Vorteil: Modell kann statistisch getestet werden ( ob die vom Modell geschätzte Populationskovarianzmatrix mit der Kovarianzmatrix der Stichprobe in Einklang steht) - STandardfehler können berechnet werden (wenn Voraussetzung erfüllt) - Generalisierung über Stichprobe hinaus möglich - Verwandtschaft zur konfirmatorischen Faktorenanalyse
• MLFA: Bestimmung der Anzahl an Faktoren - Modellgütekoeffizienten (wie bei konfirmatorischer FA) von modellen mit unterschiedlicher Faktorenanzahl werden verglichen: meist nur Chi2-Wert Ziele: - gute Modellpassung - einfache Interpretierbarkeit - geringe Anzahl an Faktoren
• Voraussetzungen der MLFA - beobachtete Variablen sind multivariat normalverteilt - Erwartungswerte der Faktoren und Residuen sind Null - Residualvariablen sind untereinander und mit den Faktoren unkorreliert
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• Hauptachsenanalyse - keine Verteilungsannahme nötig - weniger inferenzstatistische Maße zur Beurteilung der Modellgüte verfügbar als bei MLFA - nicht so eng verwandt mit konfirmatorischer FA, baut auf PCA auf - Ziel: Erklärung der kovarianz zwischen den Variablen - spezifische Anteile jeder Variablen und Messfehler werden aus den Variablen entfernt --> dann folgt PCA
• Hauptkomponentenanalyse - deskriptive Funktion (keine Erklärung, keine Generalisierung - reine Datenreduktion - keine weiteren Annahmen nötig - nicht geeignet, um latente Variablen zu finden oder Unterschiede zu erklären
• Praktische Empfehlungen: Variablen und Stichprobengröße - pro vermutetem Faktor mindestens 4 manifeste Variablne - formal mindestens so viele Vpn wie Variablen vorlieren - Anzahl benötigter Vpn hängt von den Kommunalitäten ab - Idealfall = kommunalitäten > .70 --> reichen ca. 100 Vpn, wenn genügend Variablen pro Faktor vorhanden sind
• Entscheidungen und Ermessensspielraum des Forschers Ergebnis der FA wird von Faktoren und Entscheidungen beeinflusst: - Auswahl der Variablen und der Vpn - Fakorenextraktionsverfahren (ML, Hauptachsen- vs. Hauptkomponentenanalyse) - Anzahl der Faktoren - Art der Rotation - Interpretation der Faktoren
• Was ist ein Faktor? = theoretische Variable/Konstrukt, das allen wechselseitig hoch korrelierenden Variablen zu Grunde liegt - Ergebnis der Faktorenanalyse = (wechselseitig voneinander unabhängige) Faktoren, die Zusammenhänge zwischen den Variablen erklären
• Exploratorische vs. konfirmatorische FA • Bei der exploratorischen Faktorenanalyse werden die Faktoren und die Zuordnung von beobachteten Variablen und Faktoren gesucht und sind das Ergebnis der Analyse. • Bei der konfirmatorischen Faktorenanalyse gibt es Hypothesen über die zugrundeliegenden latenten Variablen und ihre Beziehung zu den beobachteten Variablen, die man überprüft

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