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Muva (Fach) / Grundlagen der multiplen Regression (Lektion)
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- Skalenniveau - Multiple Regression und Korrelation --> metrisches Skalenniveau - Prädiktoren auch metrisch (können aber auch dichotom sein) - kategoriale Prädiktoren mit mehr als 2 Abstufungen werden in dichotome Variablen "zerlegt" ("Kodierung")
- Facts und Regressionsgleichung - eine Kriterienvariable wird aus mehreren Prädiktoren vorhergesagt - Prädiktoren sind additiv - Regressionsgleichung: ym = b0 + b1 · xm1 + b2 · xm2 + em
- Berechnung der Regressionsgewichte (b1 - bk) & Achsenabschnitt - Achsenabschnitt b0 und Regressionsgewichte b1 - bk werden nach dem kleinsten Quadrate Prinzip bestimmt - somit wird der quadrierte ABstand zwischen tatsächlichen und vorhergesagten Werten minimiert - Unterschied zwischen nicht-standardisierten und standardisierten Regressionsgewichten - standardisierte werden manchmal Beta-Gewichte/Beta-Koeffizienten genannt - Symbol: bs
- Standardisiert vs. nicht-standardisiert - standardisierte Regressionsgewichten kann man die Bedeutung/Gewichtung der einzelnen Prädiktoren entnehmen erhält man, wenn man alle Variablen (Prädiktor und Kriterium) in z-Werte transformiert --> Skalierung spielt keine Rolle mehr - nicht-standardisierte werden benötigt, um vorhergesagt Werte zu berechnen - ändern sich, wenn eine Variable transformiert wird --> wenn das Verhältnis der Standardabweichung von Prädiktor und Kriterium sich ändert
- Bedeutung der Regressionsgewichte Einfache Regression b0 = gibt an, welchen Wert die Kriterienvariable annimmt, wenn die Prädiktorvariable die Ausprägung 0 hat b1 = gibt an, um welchen Wert die Kriterienvariable zunimmt, wenn sich der Wert des Prädiktors um eine Einheit erhöht
- Bedeutung der Regressionsgewichte Multiple Regression, Achsenabschnitt b0 = gibt an, welchen Wert die Kriterienvariable annimmt, wenn alle Prädiktoren die Ausprägung 0 haben
- Bedeutung der Regressionsgewichte b1 als Regressionsgewicht bedingter einfacher Regressionen - Regressionsgewicht eines Prädiktors entspricht dem Regressionsgewicht in einer einfachen linearen Regression, wenn alle anderen Prädiktoren konstant gehalten werden - erfasst wird also der Beitrag des Prädiktors, der über den Beitrag der anderen Prädiktoren hinausgeht - multiples Regressionsgewicht = bedingtes einfaches Regressionsgewicht
- Bedeutung der Regressionsgewichte b1 als Partialregressionsgewicht - das einfache Regressionsgewicht von x1 zur Vorhersage von y entspricht dem multiplen Regressionsgewicht von x1, wenn alle anderen Prädiktoren konstant gehalten werden - statt alle anderen Prädiktoren konstant zu halten, kann man ihren Einfluss auch per Regressionsrechnung eliminieren (aus dem Kriterium und dem fraglichen Prädiktor) --> Partialkorrelation - korreliert man nun beide Residuen miteinander, resultiert als Regressionsgewicht dieser einfachen linearen Regression ebenfalls das multiple Regressionsgewicht des Prädiktors k - Partialregression von Prädiktor x1 und Kriterium bereinigt um alle anderen Prädiktoren - Partialregressionsgewicht ≠ Partialkorrelation, da bk ein unstandardisiertes Gewicht ist
- Standardisierte und unstandardisierte Regressionsgewichte - unstandardisierte = geben an, um wieviele Einheiten sich die vorhergesagten Kriteriumswerte verändern, wenn sich der Prädiktor um eine Einheit verändert - standardisierte = geben an, um wieviele Standardabweichungseinheiten sich die vorhergesagten Kriteriumswerte verändern, wenn sich der Prädiktor um eine Standardabweichung verändert - Vorzeichen gibt jeweils die RIchtung an - üblicherweise werden in der multiplen Regression beide angegeben
- Einfache und multiple Determination - multpler Korrelation/Determinationskoeffizient ist immer mindestens so groß wie der größte einfache Korrelationskoeffizient eines Prädiktors mit dem Kriterium (R2 ≥ max (rj2)) - Sind die Prädiktoren komplett unkorreliert, dann ist R2 gleich der Summe der einzelnen r2 (R2 = Σ r2) -Sind die Prädiktoren untereinander korreliert, dann ist R2 meist kleiner als die Summe der einzelnen r2 (R2 < Σ r2) - R2 kann aber auch größer sein als die SUmme der einzelnen Determinationskoeffizienten (Suppression) (R2 > ∑r2)
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- Daten-Modelle: Passung und Sparsamkeit - wenn man 2 Modelle vergleicht, ist das Modell besser, das: • die Daten am besten, d.h. mit möglichst kleinen Fehlern beschreibt •mit den wenigsten modellparametern auskommt (Sparsamkeitsprinzip) • im Allgemeinen passt ein Modell mit mehr Parametern zwangsläufig besser; man möchte deshalb häufig iwssen, ob das sparsamere Modell deutlich/signifikant schlechter passt
- Vorhersageverbesserung =Inkrement = bezeichnet den Anteil der Kriteriumsvarianz, der durch Aufnahme eines zusätzlichen Prädiktors zusätzlich erklärt wird ⇒Differenz zwischen R2 im Modell ohne zusätzlichen Prädiktor und R2 im Modell ohne zusätzlichen Prädiktor ⇒"altes" vs. "neues" Modell Gegensatz: Dekrement (Abnahme)
- Nützlichkeit eines Prädiktors - Inkrement - Wieviel Varianz erklärt ein Prädiktor zusätzlich zu allen anderen Prädiktoren? - entspricht der quadrierten Semipartial-Korrelation --> Einfluss aller anderen Prädiktoren wird aus dem zusätzlichen Prädiktor auspartialisiert