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Multivariate (Fach) / EFA und Missing (Lektion)

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• Missing Data Entstehung fehlender Werte Auswertung  •Eingabe- oder Bearbeitungsfehler  Versuchsdurchführung  •Fehler bei der Versuchsdurchführung  •Ausfall in Wiederholungsmessungen  Person  •Aufmerksamkeits- oder Motivationsdefizite der Vpn  •Inakzeptable Items  •Bestimmte Vpn möchten Informationen nicht preisgeben  •Passende Antwort im Antwortmodus nicht vorgesehen 
• Missing Data Unterschiedliche Typen von fehlenden Daten a)Univariate Muster: Anhäufungen von fehlenden Werten in einem bestimmten Item  b)Multivariates Muster: Anhäufung fehlender Werte in einer Itemgruppe  c)Monotone Muster: z.B. Dropout-Muster bei Längsschnittstudien, mit jedem nächsten Messzeitpunkt wächst die Menge der fehlenden Werte  d)Beliebig verstreutes Muster (oder nicht direkt erkennbares Muster):  •Anhäufungen von fehlenden Werten bei einem Probanden  •Anhäufung in einer der Experimentalgruppen  •Strategiewahl zum Umgang mit fehlenden Werten:  •Missings > 3% (pro Variable/pro Vpn)  •Warum fehlen die Werte? Gibt es eine Systematik? 
• Missing Data Muster fehlender Daten Klassische Klassifizierung von Little & Rubin (2002)  •MCAR Missing completely at random  •Vollkommen zufällig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Fehlens einzelner Werte in keinerlei Zusammenhang mit den beobachteten und nicht beobachteten Werten steht  •Beobachteten Werte werden als Zufallsstichprobe aus der ursprünglich vollständigen Stichprobe aufgefasst.  •MAR Missing at random  •Weniger restriktiv  •Das Auftreten von Missings steht im Zusammenhang mit den beobachteten Werten; nicht aber mit denen in der betreffenden Variable  •NMAR Not missing at random  •Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Missing steht (nach Kontrolle aller beobachteten Einflussgrößen) in Zusammenhang mit den unbeobachteten Werten  •D.h. das Missing steht im Zusammenhang mit der Variable selbst 
• Missing Data Strategien im Umgang mit fehlenden Werten •Mittelwertsimputation  •Mittelwert, Median oder Modalwert als Ersatzwert  •Hot-deck Imputation  •„Spenderdatensatz“: Gruppe v. Beobachtungen mit ähnlichen Charakteristiken  •Ziehung eines Zufallswertes  •Cold-deck Imputation  •Ersatzwert aus externer Daten-/Informationsquelle  •Best/ Worst Case Imputation  •Worst case: konservativ; Min-Wert in +Gruppe/ Max-Wert in -Gruppe  •Best case: optimistisch; Max-Wert in +Gruppe/ Min-Wert in -Gruppe  •Regressionsimputation  •Voraussetzung: multivariate Normalverteilung, stetige Variable, monotones Muster, mind. MAR  •Fehlende Werte werden mittels eines Regressionsmodells berechnet  •Auswahl der Prädiktoren: Zusammenhang  •Gemeinsamkeit → einfache Imputationen!  •Der fehlende Wert wird durch einen Schätzwert ersetzt  •Aktuelle Ansätze favorisieren die multiple Imputation  •Mehrere plausible Schätzwerte werden für jeden fehlenden Wert bestimmt und kombiniert 
• Missing Data – multiple Imputation Multiple Imputation 11 Expectation maximization (EM) Expectation maximization (EM)  •Annahme: MCAR  •Iterativer Prozess mit 2 Stufen (für jede Iteration):  •Expectation: bedingte Erwartungswerte für die fehlenden Werte  •Einsetzen der Erwartungswerte  •Maximization: ML-Schätzung des Modells  •In beiden Schritten wird dabei die Qualität des Ergebnisses verbessert:  •Expectation Schritt: genauere Schätzung der Erwartungswerte  •Maximization Schritt: Veränderung des Modells zur besseren Passung  •→ Findet keine wesentliche Verbesserung mehr statt, wird das Verfahren beendet. 
• Übungsfrage - Missings Nach der Durchführung einer Online-Fragebogenstudie mit unipark zeigt sich in der resultierenden Datendatei, dass einige Items von den Probanden nicht ausgefüllt wurden (< 3%). Für eine geplante Datenimputation testen Sie das Muster der fehlenden Daten. Erklären Sie die folgende Klassen des Musters fehlender Daten: MCAR, MAR. Klassische Klassifizierung von Little & Rubin (2002)  •MCAR Missing completely at random  •Vollkommen zufällig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Fehlens einzelner Werte in keinerlei Zusammenhang mit den beobachteten und nicht beobachteten Werten steht  •Beobachteten Werte werden als Zufallsstichprobe aus der ursprünglich vollständigen Stichprobe aufgefasst.  •MAR Missing at random  •Weniger restriktiv  •Das Auftreten von Missings steht im Zusammenhang mit den beobachteten Werten; nicht aber mit denen in der betreffenden Variable 
• EFA Eigenschaften der Faktorenanalyse Die Faktorenanalyse ist  •ein datenreduzierendes Verfahren.  •ein heuristisches, hypothesengenerierendes Verfahren.  •ein Verfahren zur Überprüfung der Dimensionalität komplexer Merkmale.  Erforderliche Festlegungen der EFA  (1)Art der Extraktionsmethode  (2)Wahl des Abbruchkriteriums/Bestimmung der Faktorenanzahl  (3)Methode der Faktorenrotation 
• 1. Art der Extraktionsmethode Hauptkomponentenanalyse (principal component analysis) •Versucht durch Hauptkomponenten („Faktoren“) möglichst viel Varianz der beobachteten Variablen zu erklären.  Implizite Annahme:  •Die beobachteten Variablen können messfehlerfrei erhoben werden (d.h. Varianz wird durch Hauptkomponente erklärt)  •Daraus ergibt sich  •die aufzuklärende Varianz jeder (standardisierten) Variablen ist gleich 1  •die aufzuklärende Gesamtvarianz aller Variablen entspricht der Anzahl der beobachteten Variablen.  •Da zur Datenreduktion weniger Faktoren als beobachtete Variablen extrahiert werden, entsteht Anteil an nicht erklärter Varianz  •→ Fehlerterm = Anteil der nicht berücksichtigten Hauptkomponenten  •Da in den Variablen auch der Messfehler vorhanden ist, handelt es sich im strengen Sinne nicht um latente Variablen  •Anwendung:  •Typologie der Variablen zu erstellen  •Erklärungsraum reduzieren; D.h. Datenreduktion als vorrangiges Ziel 
• 1. Art der Extraktionsmethode Hauptachsenanalyse (principal axis factor analysis) •Ziel ist die Aufdeckung von latenter Konstrukte/Faktoren, welche das Beziehungsmuster zwischen den manifesten Variablen erklären  Annahme  •Variablen weisen nicht nur wahre Varianz, sondern auch Messfehlervarianz auf.  •Durch die Faktoren wird nicht die gesamte Varianz, sondern nur die wahre Varianz der zugrunde liegenden Faktoren erklärt.  •Die wahren Varianzanteile werden zunächst geschätzt und in die Hauptdiagonale der Korrelationsmatrix eingetragen  •Die aufzuklärende Gesamtvarianz ist also kleiner als bei der PCA  •→ Fehlerterm = unsystematische Messfehler & systematische Anteile nicht berücksichtigter Faktoren  •Einsatz, wenn das Ziel darin besteht latente Variablen zu identifizieren, zu denen die Variablen gemeinsame Varianz beitragen unter Ausschluss der variablenspezifischen (Rest) Varianz.  •Sinnvoll um die Dimensionalität eines Variablensatzes zu determinieren 
• FUNDAMENTALTHEOREM •Als Fundamentaltheorem der FA bezeichnet man die Annahme, dass eine beobachtete standardisierte Messung 𝑧𝑣𝑖 in eine Linearkombination aus den mit den Faktorladungen 𝜆𝑖𝑘 gewichteten Faktorenwerten 𝑓𝑘𝑣 und einer Fehlerkomponente 𝜀𝑣𝑖 zerlegt werden kann.  𝑧𝑣𝑖=𝜆𝑖1𝑓1𝑣+𝜆𝑖2𝑓2𝑣+⋯+𝜆𝑖𝑘𝑓𝑘𝑣+𝜆𝑖𝑞𝑓𝑞𝑣+𝜀𝑣𝑖  → 𝑧𝑣𝑖= 𝑞𝑘=1𝜆𝑖𝑘𝑓𝑘𝑣+𝜀𝑣𝑖 Bei orthogonalen Faktoren lässt sich die Varianz jeder Variablen als Summe der quadrierten Faktorladungen und der Varianz der Fehlerkomponenten darstellen: 𝑉𝑎𝑟𝑧𝑖=1=𝜆𝑖1.+𝜆𝑖2.+⋯+𝜆𝑖𝑘.+𝜆𝑖𝑞.+𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖)
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• Wertebereich & Zusammenhang d. Parameter Faktorladung  •Bereich: -1 und +1  •Interpretation als Korrelationskoeffizienten zwischen der Variable u. Faktor  •Quadrat der Ladung (𝜆²𝑖𝑘 ): gemeinsamer Varianzanteil von Variable u. Faktor.  •ℎ𝑖2= 𝜆²𝑖𝑘𝑞𝑘=1 : Kommunalität (Anteil der Varianz einer Variablen, der durch die Faktoren aufgeklärt wird)  Kommunalität  •PCA: maximal 1  •PFA: maximal so groß wie die Reliabilität der jeweiligen Variablen  Eigenwert  •durch jeweils einen Faktor erklärte Varianz aller beobachteten Variablen  •Summe der quadrierten Faktorladungen des Faktors über alle Variablen  •> 1 → Faktor erklärt mehr Varianz erklärt als eine einzelne Variable aufweist. 
• 2. Wahl des Abbruchkriteriums Kaiser-(Guttman-)Kriterium • Nach diesem Kriterium entspricht die Anzahl q der bedeutsamen Faktoren der Anzahl der Faktoren mit Eigenwerten über 1.  größer 1 = überschätzt Faktoren - nicht nehmen nicht gut kaiser guttman - Zahl der extrahierenden Faktoren = der Zahl der Faktoren der Eigenwerte größer 1 -eigenwerte: berechnet als summe der quadrierten Faktorladungen eines Faktors über alle Variablen -> erklärter Varianzanteil zu trennen -> Eigenwert = Varianzerklärungsbeitrag eines Faktors im Hinblick auf Varianz aller Variablen Nach Kaiser Guttman Kriterium werden alle  Faktoren mit Eigenwert größer als 1  als bedeutsam erachtet, da sie mehr Varianz erklären als eine einzelne standardisierte Variable aufweist.  - Problematisch, da Übeschätzung der Faktoren bei beobachteten Variablen  führen kannder 
• 2. Wahl des Abbruchkriteriums Scree Test • Eigenwertediagramm; Anzahl der Faktoren vor dem Knick  scree = häufiger verwendet - Eigenwertet hier abgetragen, Faktoren sind aufgelistet = Eigenwert mit Linie verbunden - gibt es Knick im Verlauf? alles vor dem Knick ist relevant - Knick ist Abbruchkriterium - für ein Faktor entscheiden Eigenwerteverlauf anhand einer Graphik (Screeplot) dargestellt - Eigenwerte werden durch Linie verbunden - Knic der sich asymptotisch der Abszisse nähert - Faktoren vor dem Knick als relevant erachtet
• 2. Wahl des Abbruchkriteriums Parallelanalyse •Berücksichtig den Umstand, dass einige Eigenwerte aus Stichprobendaten auch bei in der Population unkorrelierten Variablen > 1 werden.  •Zuverlässigste Verfahren zur Bestimmung der Faktorenanzahl  •Zufallsdatensätze mit unkorrelierten Variablen (N und Variablenanzahl entsprechen dem Untersuchungsdatensatz)  •FAs und Eigenwerteverläufe  •Mittelung d. Eigenwerte der Faktoren  •Relevante Faktoren: empirische Eigenwerte > mittels Parallelanalyse festgestellte Eigenwerte aus unkorrelierten Zufallsvariablen  Parallelanalyse basiert auf Sachverhalt, dass einige aus Stichprobendaten gewonnenen Eigenwerte eine inhaltliche Relevanz vortäuschen, indem sie auch dann größer als 1 werden, wenn Variablen in der Population in Wahrheit unkorreliert sind (orthogonal) -deswegen dürfen sie wegen Fehlens gemeinnsamer Varianz keinen gemeinsamen Faktor aufweisen -Zufallskorrelationen treten ungleich null auf in der Stichprobe, die zu Scheinfaktoren mit Eigenwerten größer 1 führen - um dies zu beheben wird der empirische Eigenwerteverlauf einem Eigenwerteverlauf gegenübergestellt, der aus Parallelanalyse mit Variablen resultiert, die in Population in Wahrheit unkorreliert ist, die in Wahrheit unkorreliert sind, aber in der Stichprobe Zufallskorrelationen ungleich null aufweisen - stichprobenumfang und Variablenanzahl dem untersuchten empirischen Datensatz entsprechen muss - interpretiert werden diejenigen Faktoren deren Eigenwerte größer sind als gemittelten Eigenwerte aus der Parallelanalyse
• 3. Methode der Faktorenrotation Allgemein •Um die Faktoren inhaltlich zu interpretieren, wird eine Faktorenrotation vorgenommen  •Ziel ist es, dass auf jedem Faktor einige Variablen hoch und die übrigen Variablen möglichst niedrig laden.  •Umgekehrt sollte jede Variable nur auf einem einzelnen Faktor hoch laden, auf den übrigen niedrig.  •→ Einfachstruktur 
• 3. Methode der Faktorenrotation Schiefwinklige versus orthogonale Rotation •orthogonale Rotation: Unabhängigkeit der Faktoren bleibt erhalten.  •oblique Rotation: korrelierte Faktoren („Faktoren erster Ordnung“)  •Gute Interpretierbarkeit der Faktorenstruktur  •Faktoren enthalten redundante Informationen  •Die Aussagen zur Faktorladung sowie zur Kommunalität, welche für orthogonale Faktoren zutreffen, gelten nicht mehr:  a)Die Faktorladung entspricht nicht mehr einer Korrelation zwischen Faktor und Variable.  b)Die Kommunalität einer Variablen entspricht nicht mehr der Summe der über die Faktoren summierten Faktorladungsquadrate. 
• 3. Methoden der Faktorenrotation Orthogonale Rotationstechniken Varimax  •Die Varianz der quadrierten Faktorladungen innerhalb der einzelnen Faktoren wird maximiert.  •Führt zu Ladungsmustern mit einigen hohen Primärladungen und sonst sehr niedrigen Sekundärladungen.  Quartimax  •Maximiert die Summe der vierten Potenz aller Faktorladungen.  •Es wird angestrebt, einen Faktor mit vielen hohen und mittleren Ladungen sowie verbleibende Faktoren mit wenigen hohen und sonst niedrigen Ladungen zu erhalten  •Dieses Verfahren kann angezeigt sein, wenn ein gemeinsamer Generalfaktor erwartet wird. 
• 3. Methoden der Faktorenrotation Oblique Rotationstechniken Promax  •Dieser Algorithmus startet mit einer orthogonalen Rotation und transformiert die Faktoren anschließend in eine oblique Lösung mit dem Ziel, die absoluten Werte der Primärladungen zu maximieren und die Sekundärladungen gegen Null gehen zu lassen.  Direct Oblimin  •Ein Rotationsalgorithmus, der die simultane Optimierung eines orthogonalen und eines obliquen Rotationskriteriums anstrebt.  •Durch die Wahl der Gewichtung der beiden Aspekte kann der Grad der Faktorinterkorrelation beeinflusst werden. 
• 3. Methode der Faktorenrotation Schiefwinklige versus orthogonale (rechtwinklige) Rotation Anwendung:  •orthogonale Rotation: Ziel besteht primär in der Datenreduktion  •z.B. Fragenbogenkonstruktion, Vermeidung Multikollinearität  •oblique Rotation: Ziel besteht in der inhaltlichen Interpretation der Faktoren  •z.B. Replikation von Fragebogenstruktur 
• Faktorenanalysen Faktorenanalyse bezeichnet eine Reihe von Analyseverfahren, die für folgende Ziele eingesetzt werden:  •Zur Datenreduktion, indem die Variation einer Vielzahl von Variablen auf eine deutlich geringere Zahl von gemeinsamen Dimensionen zurückgeführt wird, die für weitere Analysen verwendet werden können.  •Zur Selektion einer Subgruppe von Variablen aus einer größeren Gruppe  •Um ein Set von Faktoren zu finden, die als unkorrelierte Variablen in Analysen eingesetzt werden können, um etwa Multikollinearität zu vermeiden  •Zur Überprüfung der Konstruktvalidität von Fragebogen und Tests  •Zur Bestätigung, dass multiple Tests den gleichen Faktor erfassen  •Um Cluster von Fällen und/oder Ausreißer zu identifizieren  •Beide faktorenanalytischen Methoden versuchen die Zusammenhänge zwischen den beobachteten Variablen zu erklären.  •Die EFA ist ein theoriefreies (struktursuchendes) Verfahren.  •Die CFA ist ein theoriegeleitetes (strukturüberprüfendes) Verfahren.  •Diese unterschiedlichen Zielsetzungen wirken sich auf die möglichen Interpretationen der Ergebnisse aus.  •Die EFA reduziert die komplexen Informationen in der beobachteten Korrelationsmatrix und ermöglicht es die Faktoren inhaltlich zu interpretieren, während mit der CFA Hypothesen bezüglich der faktoriellen Struktur getestet werden, wobei die inhaltliche Interpretation der Faktoren bereits vor der Analyse festliegt. 
• Exploratorische Faktorenanalyse Ziel der Faktorenanalyse •Variablen werden gemäß ihrer korrelativen Beziehungen in wenige, voneinander unabhängige Variablengruppen geordnet.  •Mit Hilfe dieses Ordnungsschemas lässt sich relativ einfach entscheiden, welche Variablen gemeinsame und welche unterschiedliche Informationen erfassen.  •Die EFA liefert Indexzahlen (Ladungen), die darüber informieren, wie gut eine Variable zu einer Variablengruppe passt.  •Sie stellen die Basis für interpretative Hypothesen über das Gemeinsame der Variablen einer Variablengruppe dar. 
• Exploratorische Faktorenanalyse Bedeutung eines Faktors •Faktoren sind hypothetische Größen, die wir zur Erklärung von Merkmalszusammenhängen heranziehen.  •Besteht zwischen zwei Variablen x und y eine hohe Korrelation, können wir mit der partiellen Korrelation bestimmen, ob diese Korrelation durch eine dritte Variable z erklärt werden kann.  •Ausgehend von den Korrelationen zwischen den gemessenen Variablen wird eine „synthetische“ Variable (= Faktor) konstruiert, die mit allen Variablen so hoch wie möglich korreliert.  •Ein Faktor stellt somit eine gedachte, theoretische Variable dar, das allen wechselseitig hoch korrelierten Variablen zugrunde liegt.  •Eine weitere Bezeichnung für Faktor ist „latente“ Variable. 
• Exploratorische Faktorenanalyse Kriterium der Einfachstruktur (1)Auf jedem Faktor sollen einige Variablen möglichst hoch und andere möglichst niedrig laden.  (2)Auf verschiedenen Faktoren sollen verschiedene Variablen möglichst hoch laden.  (3)Dadurch korrelieren die einzelnen Faktoren nur mit einer begrenzten Anzahl von Variablen, was im Allgemeinen eine bessere Interpretierbarkeit der Faktoren gewährleistet. 
• Exploratorische Faktorenanalyse Praktisches Vorgehen •Faktorenextraktion (z.B. mittels Hauptkomponentenanalyse) und Ermittlung der Eigenwerte  •Entscheidung über die Anzahl relevanter Faktoren (z.B. mittels Scree-Test)  •Entscheidung für einen Rotationsalgorithmus  •D.h. erneute Berechnung der FA mit Vorgabe der gewünschten Faktorenanzahl und  •Rotation der als relevant betrachteten Faktoren  •Interpretation des Ladungsmuster 

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