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Multivariate (Fach) / ANOVA 1 (Lektion)

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• Einführung in die multivariate Varianzanalyse •ZielZusammenhang zwischen Gruppenzugehörigkeit einer Person und dem Erwartungswert der Person auf der abhängigen Variableneinfacher: Unterschiede im Mittelwert bei verschiedenen Gruppen•Aussage:unterscheiden sich die Gruppen hinsichtlich der abhängigen Variablen Y1, …, Yp?welche Gruppen unterscheiden sich?•Einschränkungenkeine kausalen Aussagen (Unterschiede wegen Gruppenzugehörigkeit)keine Differenzierung innerhalb der Gruppenkeine Aussagen über Art, Größe und Richtung der Gruppenunterschiede
• Einführung in die multivariate Varianzanalyse Univariate vs. multivariate Varianzanalyse •univariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren (Faktoren) auf eine abhängige Variable (Kriterium)Gruppenunterschiede im Mittelwert bei einer abhängigen Variable•multivariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren (Faktoren) auf mehrere einzelne abhängige Variablen (Kriterien) oder auf ein mehreren abhängigen Variablen zugrunde liegendem Konstrukt
• Einführung in die multivariate Varianzanalyse Warum Varianzanalyse? •Die Durchführung mehrerer t-Tests an denselben Daten führt zu:α-Fehler-KumulierungVerringerung der Teststärke:Die Teststärke einer Varianzanalyse bei dem Vergleich von mehr als zwei Gruppen ist größer als die der entsprechenden t-Tests.
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Terminologie der Varianzanalyse •Die abhängige Variable ist das, was gemessen wird (= Kriterium)•Die unabhängige Variable wird vom Experimentator festgelegt.unabhängige Variable = Gruppenvariable = FaktorArten von Faktoren: Treatment- und KlassifikationsfaktorenStufen eines Faktors = Anzahl der realisierten Bedingungen•Haupteffekt = signifikantes Ergebnis zwischen den Stufen des Faktors
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Voraussetzungen der Varianzanalyse •Die abhängige Variable ist intervallskaliert.•Das untersuchte Merkmal ist in der Population normal verteilt•Varianzhomogenität: Die Varianzen der Populationen der untersuchten Gruppen sind gleich.•Die Messwerte in allen Bedingungen sind voneinander unabhängig.
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse •Die Varianzanalyse vergleicht mehrere Mittelwerte simultan miteinander.•Beispiel: Anzahl erinnerter Wörter in verschiedenen Verarbeitungsbedingungen
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Varianz •Die Varianz gibt die mittlere Abweichung jedes einzelnen Werts vom Mittelwert einer Verteilung an:•Allgemein wird eine Varianz durch das Verhältnis der Quadratsumme zu den Freiheitsgraden geschätzt:
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Gesamtvarianz •Die Gesamtvarianz ist ein Maß für die Stärke der Abweichung aller Messwerte von ihrem Gesamtmittelwert.Gesamtmittelwert = Mittelwert aller Messwerte
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Zerlegung der Gesamtvarianz In der ANOVA gibt es zwei Ursachen der Gesamtvarianz:•systematische Einflüsse•unsystematische Einflüsse•Die systematische Varianz ist der Anteil der Gesamtvarianz, der auf systematischen Einflüssen beruht.•Unsystematische Einflüsse treten auf, weil sich die Personen oder einzelne Messungen unabhängig von der experimentellen Manipulation voneinander unterscheiden.Residualvarianz = Anteil der Gesamtvarianz, der auf unsystematischen Einflüssen beruht •Die Gesamtvarianz in der Population setzt sich additiv aus der systematischen und der unsystematischen Varianz zusammen:
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Schätzung der Residualvarianz (nicht erklärte Streuung) Die durchschnittliche Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen ist ein Schätzer für die Residualvarianz in der Population.Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen
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• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Schätzung der systematischen Varianz (erklärte Streuung) •Schätzung der systematischen Varianz durch die GruppenmittelwerteUnterschiede der Gruppenmittelwerte = „Varianz zwischen“
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Quadratsummen und Freiheitsgrade Gesamtstreuung = erklärte Streuung + nicht erklärte Streuung Quadratsummen sind additiv:
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Der F-Bruch Das allgemeine Prinzip der Bildung des F-Bruchs besteht darin, ein Varianz durch die Varianz zu teilen, deren Erwartungswert dieselben Komponenten bis auf den zu untersuchenden Effekt enthält. Die Prüfvarianz darf sich also in ihrem Erwartungswert nur in dem fraglichen Effekt von der zu prüfenden Varianz unterscheiden → So kann geprüft werden, ob der interessierende Effekt statistisch bedeutsam ist oder nicht
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Nullhypothese •Nullhypothese der einfaktoriellen Varianzanalyse:•Die Form der F-Verteilung unter der Nullhypothese ist von der Anzahl der Gruppen und der Stichprobengröße abhängig •Signifikantes Ergebnis:empirische F-Wert > kritische F-Wert
• Die Determinanten der Varianzanalyse Effektstärke •η2 gibt den Anteil der durch einen Faktor aufgeklärten Varianz auf der Ebene der Stichprobe an.•Je kleiner die Residualvarianz ist, desto größer ist die Teststärke.•Die Teststärke ist umso größer, je größer der gesuchte Effekt ist.•Die Teststärke ist umso größer, je größer der Umfang der Stichprobe ist.•Die Teststärke ist umso größer, je größer das festgelegte Signifikanzniveau ist.
• Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Alternativhypothese der Varianzanalyse •Ein signifikantes Ergebnis in der ANOVA bedeutet, dass sich mindestens ein Mittelwert der untersuchten Gruppen von den anderen statistisch bedeutsam unterscheidet.•Die Alternativhypothese in der Varianzanalyse ist immer unspezifisch.
• Zweifaktorielle ANOVA Nomenklatur •Faktor A hat p Stufen (Laufindex i)•Faktor B hat q Stufen (Laufindex j)Angabe der Stufenanzahl der betrachteten Faktoren: p×q-Varianzanalyse Bezeichnungen der Mittelwerte:•Mittelwerte der einzelnen Stufen des Faktors A: Ai•Mittelwerte der Stufen des Faktors B: Bj•Zellmittelwerte der Kombination der Faktorstufen: ABi
• Zweifaktorielle ANOVA Effektarten In der zweifaktoriellen Varianzanalyse gibt es drei Arten von Effekten: Haupteffekt A: Der vom Faktor B unabhängige systematische Einfluss des Faktors A auf die AV. Haupteffekt B: Der vom Faktor A unabhängige systematische Einfluss des Faktors B auf die AV. Wechselwirkung A×B: Effekt, der durch das Zusammenwirkung bestimmter Stufen der beiden Faktoren auf die AV ausgeübt wirdBsp. Frauen zeigen signifikant bessere Erinnerungsleistung bei struktureller Verarbeitung als Männer, nicht jedoch in den anderen Bedingungen Prüfung der EffekteZerlegung der Effektvarianz:
• Zweifaktorielle ANOVA Varianzzerlegung (Gesamtvarianz) 𝑺𝑺𝒕=𝑺𝑺𝑨+𝑺𝑺𝑩+𝑺𝑺𝑨𝒙𝑩+𝑺𝑺𝒘•𝜂²=𝑆𝑆𝑏𝑆𝑆𝑡•Wobei 𝑆𝑆𝑏=𝑆𝑆𝐴+𝑆𝑆𝐵+𝑆𝑆𝐴𝑥𝐵•𝐹𝑒𝑚𝑝=𝑒𝑟𝑘𝑙ä𝑟𝑡𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑒𝑟𝑘𝑙ä𝑟𝑡𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧
• Effektarten Prüfung der Effekte •Die Zwischenvarianzen werden einzeln an der geschätzten Residualvarianz auf Signifikanz geprüft
• Effektarten Prüfung des Haupteffekts A auf Signifikanz •F-Bruch für den Haupteffekt A•Schätzung der Zwischenvarianz des Faktors A über die Quadratsummen und Freiheitsgrade•Ein signifikanter Haupteffekt A bedeutet, dass der Faktor A (mit einer tolerierten Fehlerwahrscheinlichkeit) in irgendeiner Weise einen systematischen Einfluss auf die AV hat•Beispiel: die Bedingung (strukturell, bildhaft, emotional) hat einen Einfluss auf die Erinnerungsleistung
• Effektarten Prüfung des Haupteffekts B auf Signifikanz •F-Bruch für den Haupteffekt B•Schätzung der Zwischenvarianz des Faktors B über die Quadratsummen und Freiheitsgrade•Ein signifikanter Haupteffekt B bedeutet, dass der Faktor B (mit einer tolerierten Fehlerwahrscheinlichkeit) in irgendeiner Weise einen systematischen Einfluss auf die AV hat•Beispiel: das Geschlecht der VP (weiblich, männlich) hat einen Einfluss auf die Erinnerungsleistung
• Effektarten Prüfung des Interaktionseffekt A x B auf Signifikanz •F-Bruch für den Interaktionseffekt A x B•Nullhypothese: Die Unterschiedlichkeit der Zellenmittelwerte wird allein durch die Haupteffekte verursacht.•Alternativhypothese: Die beobachteten Zellenmittelwerte weichen systematisch von den erwarteten Zellenmittelwerten ab. Die Ursache der Variation der Zellenmittelwerte liegt nicht allein in den Haupteffekten, sondern das Zusammentreffen bestimmter Stufen der beiden Faktoren ruft zusätzliche systematische Abweichungen hervor.•Der Interaktionseffekt wird unspezifisch getestet Aufgrund der Haupteffekte erwartete Zellenmittelwerte / Abweichungen deuten auf Interaktionseffekt hin.
• Die Determinanten der Varianzanalyse Effektstärke partielles Eta-Quadrat•Anteil der aufgeklärten Variabilität der Messwerte relativ zur Summe der Quadratsummen des systematischen Effekts und des Residuum.•Konventionen für Effektstärken:kleiner Effekt: 𝜂𝑝²=0,01mittlerer Effekt: 𝜂𝑝²=0,06großer Effekt: 𝜂𝑝²=0,14
• Die Wechselwirkung Definition der Wechselwirkung •Die Wechselwirkung kennzeichnet einen über die Haupteffekt hinausgehenden Effekt, der nur dadurch zu erklären ist, dass mit der Kombination einzelner Faktorstufen eine eigenständige Wirkung verbunden ist.•Arten von Wechselwirkung:Ordinale WechselwirkungSemidisordinale WechselwirkungDisordinale Wechselwirkung
• Die Wechselwirkung Ordinale Wechselwirkung •Der Effekt der Wechselwirkung ist kleiner als jeder der beiden Haupteffekt•Es liegen Unterschiede der Zellenmittelwerte vor in der Richtung, die die Haupteffekte vorgeben.
• Die Wechselwirkung Semidisordinale Wechselwirkung •Der Effekt der Wechselwirkung ist kleiner als einer der beiden Haupteffekte, aber größer als der zweite•Es liegen Unterschiede der Zellenmittelwerte in der Richtung eines Haupteffekts vor für den zweiten dagegen nicht
• Die Wechselwirkung Disordinale Wechselwirkung •Der Effekt der Wechselwirkung ist größer als jeder Haupteffekt•Es liegen Unterschiede der Zellenmittelwerte entgegen der Richtung der Haupteffekte vor
• Voraussetzungen •Die Voraussetzungen der zweifaktoriellen ANOVA entsprechen denen der einfaktoriellen ANOVA:Die abhängige Variable ist intervallskaliert.Das Merkmal ist in der Population normalverteilt.Die Residualvarianzen sind in der Population in allen Zellen bzw. Bedingungskombinationen der Stufen der beiden Faktoren gleich (Varianzhomogenität).Die Messwerte in allen Bedingungskombinationen sind voneinander unabhängig.
• Dreifaktorielle Varianzanalyse Varianzzerlegung •Bei jeder Hinzunahme eines neuen Faktors ergibt sich eine noch differenziertere Zerlegung der Streuung•𝑆𝑆𝑡 = 𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐵 +𝑆𝑆𝐶 + 𝑆𝑆𝐴𝑥𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝑥𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝑥𝐶 +𝑆𝑆𝐴𝑥𝐵𝑥𝐶 + 𝑆𝑆𝑤•Wobei 𝑆𝑆𝑏=𝑆𝑆𝐴 + 𝑆𝑆𝐵 + 𝑆𝑆𝐶 + 𝑆𝑆𝐴𝑥𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝑥𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝑥𝐶 + 𝑆𝑆𝐴𝑥𝐵𝑥𝐶

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