Evaluation (Fach) / Analyse von einfachen Prozessen (Lektion)

ACF und PACF...

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• ACF bezeichnet die Korrelation einer Zeitreihe mit sich selbst. Dabei wird die ursprüngliche Zeitreihe mit den um 0 bis k Zeiteinheiten verschobenen Lag-Reihen korreliert. Wird so zum Beispiel ein k von 20 angegeben, entstehen 21 Autokorrelationen.
• PACF liefert die Korrelation zwischen der ursprünglichen Zeitreihe mit den um 0 bis k verschobenen Lag-Reihen, kontrolliert für den Einfluss der dazwischenliegenden Lag-Reihen. Soll also zum Beispiel die PACF der Zeitreihe mit der Lag(3)-Reihe angegeben werden, so wird der Koeffizient um die Einflüsse der Korrelation zwischen Zeitreihe und Lag(1) sowie zwischen Zeitreihe und Lag(2) bereinigt.
• ACF und PACF bei Lag(1) sind identisch, da zwischen Originalzeitreihe und Lag-Reihe kein weiterer Zeitpunkt liegt.
• Univariate ARMA-Modelle dienen der Beschreibung von seriellen Abhängigkeiten innerhalb einer Zeitreihe. Ziel: Inwiefern wird der Messwert zum Zeitpunkt t von vorangegangenen Zeitpunkten (t-1, t-2, ..., t-k) beeinflusst? dienen hier als Voraussetzungen für komplexere Modelle 
• Voraussetzungen für die Bestimmung von ARMA-Modellen Mittelwertsstationarität Varianzstationarität Kovarianzstationarität Nur wenn diese Voraussetzungen erfüllt sind, darf ein ARMA-Modell bestimmt werden.
• Mittelwertsstationarität Erwartungswert über die Zeit konstant Liegen Trends oder Phasen in der Zeitreihe vor, so ist diese Bedingung verletzt.
• Varianzstationarität Varianz ist über die Zeit konstant es liegt also keine Stabilisierung oder Labilisierung vor.
• Kovarianzstationarität die Kovarianz zwischen Original- und Lag-Reihe ist über alle Lags konstant
• White Noise in der Regel in den meisten statistischen Verfahren gegeben beschreibt eine Abfolge von unabhängigen Zufallszahlen mit Mittelwert 0 Liegen in einer Zeitreihe keine seriellen Abhängigkeiten vor, so ist diese demnach White-Noise-verteilt.
• Überprüfung einer Zeitreihe auf WN mittels ACF und PACF Liegt White Noise vor, so "brechen ACF und PACF noch vor dem ersten Lag ab", das bedeutet, dass kein Auto- oder Partialautokorrelationskoeffizient ab einschließlich dem ersten Lag signifikant wird. Zeigen ACF und PACF Abweichungen von dieser Regel, so kann davon ausgegangen werden, dass der Zeitreihe serielle Abhängigkeiten zugrunde liegen, weshalb ein ARMA- Modell geschätzt wird, um diese näher zu beschreiben.
• autoregressiver-(AR-)Prozess Vorhersage des Ausmaßes des Messwertes zum Zeitpunkt t mithilfe von Messwerten zu früheren Zeitpunkten (t-1, t-2, ..., t-p) AR(2)-Prozess: Messwert zum Zeitpunkt t wird mithilfe der gewichteten Messwerte zu den Zeitpunkten t-1 und t-2 geschätzt. AR(1) = phi1 * zt-1 + at
• Moving-Average-(MA)-Prozesse besonderer Prozess der seriellen Abhängigkeit beschreibt Zufallseinfluss des gestrigen Tages am heutigen Tag – Zufallseinflüsse die immer noch Bestand haben werden herangezogen, um das Ausmaß des Messwertes zum Zeitpunkt t mithilfe von Zufallseinflüssen zu bestimmen, die zu früheren Zeitpunkten (t-1, t-2, ..., t-q) wirksam waren und noch immer wirken Bei einem MA(3)-Prozess wird der Messwert zum Zeitpunkt t demnach mithilfe der gewichteten Zufallseinflüsse zu den Zeitpunkten t-1, t-2 und t-3 geschätzt.
• ARMA-Gleichung beschreibt den Messwert der Zeitreihe zum Zeitpunkt t mit: White Noise verteilten Zufallseinflüsse at Phi-Koeffizienten φ1, φ2, ..., φp  der gewichteten Messwerte zu den Zeitpunkten t-1, t-2, ..., t-p (AR-Prozess) Theta-Koeffizienten θ1, θ2, ..., θq der gewichteten Zufallseinflüsse zu den Zeitpunkten t-1, t-2, ..., t-q (MA-Prozess)
• Parameterschätzung ARMA-Modell Sind Phi- und Theta-Parameter signifikant? (Phi = AR, Theta = MA) der geschätzte Koeffizient muss größer sein als der mit dem Faktor 2 multiplizierte Standardfehler Weist ein Prädiktor keine Signifikanz auf: Modell verwerfen Entscheidung zwischen zwei Modellen mit ausschließlich signifikanten Parametern: zugunsten des Modells mit weniger Parametern Verfügen beide Modelle über gleich viele Parameter: Auswahl anhand des AIC (AICc, BIC) zugunsten Modells mit dem kleineren ("negativeren") Wert
• Intercept Mittelwert der geschätzten Funktion (y-Achsenabschnitt). Wenn signifikant, weichen alle Messwerte der Zeitreihe im Mittel um den berichteten Koeffizienten von 0 ab
• Vorgehensweise ARMA-Berechnung Identifikation Paramaterschätzung Modelldiagnose
• Modelldiagnose Erklärt Modell tatsächlich alle seriellen Abhängigkeiten der Zeitreihe? Residuen des neuen Modells werden auf ihre Verteilung überprüft. Ist diese White Noise, so beschreibt das Modell die Daten erschöpfend und kann alle seriellen Abhängigkeiten erklären. Ljung-Box-Test: wenn nicht signifikant, dann WN
• Automatische Verfahren ARMA-Modell forecast für Identifikation und Parameterschätzung Ljung-Box-Test (manchmal auch als "Portmanteau-Test" bezeichnet") für Modelldiagnose
• Überprüfung White Noise keine ACF und PACF wird ab dem einschließlich 1. lag signifikant -> WN-verteilt ist Zeitreihe nicht WN-verteilt, wird ein ARIMA-Modell geschätzt um serielle Abhängigkeiten näher zu beschreiben
• AR-Prozess Vorhersage des Ausmaßes des Messwertes zum Zeitpunkt t mithilfe von Messwerten zu früheren Zeitpunkten (t-p)

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