Evaluation (Fach) / Trendanalyse (Lektion)

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• globaler Trend: Eine stetige, über den gesamten Verlauf der Zeitreihe bestehende Veränderung Bsp: andauerndes Wachstum des menschlichen Gehirns im Zeitraum von der Geburt bis zum dritten Lebensjahr Ziel: Rückschlüsse auf den Verlauf ähnlicher Zeitreihen und Annahmen über die zukünftige Entwicklung
• Trendanalyse Bei einer Trendanalyse wird eine Zeitreihe auf charakteristische Veränderungen des Mittelwertniveaus untersucht. Allgemein: analysiert den Verlauf einer Zeitreihe
• lokaler Trend: kurzfristige Veränderungen des Mittelwertniveaus. Im Rahmen einer solchen Phase steigt, fällt oder schwankt das Niveau in einem gegebenen Intervall, um anschließend wieder den ursprünglichen Wert anzunehmen
• Trendbereinigung: bedient sich der Trendanalyse und bezeichnet eine Bereinigung der Zeitreihe um sowohl lokale als auch globale Trends -> schafft Voraussetzungen für weiterführende inferenzstatistische Verfahren (ARMA-Modell, Interventionsanalyse)
• polynomiale Regression es wird versucht eine Zeitreihe so exakt und sparsam wie möglich mithilfe eines Polynoms zu beschreiben eine exakte Vorhersage ist geglückt, wenn quadrierten Residuen möglichst klein sind
• Polynom 0. Grades - einfachster Fall Der Funktionswert Pt entspricht somit zu jedem Zeitpunkt t dem Achsenabschnitt b0 Pt = b0
• Polynom 1. Grades Pt = b0 + b1 x t Der Funktionswert Pt ist somit über den Verlauf der Zeitreihe nicht mehr konstant, sondern steigt mit Zunahme von t streng monoton an oder fällt streng monoton ab. Genügt eine Zeitreihe einem Polynom 1. Grades, unterliegt diese damit einem linearen Trend.
• Polynom 2. Grades Der Schritt vom Polynom ersten zum Polynom zweiten Grades umfasst lediglich die Aufnahme des zweiten Regressionsgewichts b2. Pt = b0 + b1 x t + b2 x t2 Im Gegensatz zum Polynom 1. Grades steigt oder fällt der Funktionswert Pt nicht mehr streng monoton an bzw. ab, sondern beschreibt im Verlauf der Zeit eine Kurve, sodass eine Extremstelle entsteht. Eine Zeitreihe, die durch ein Polynom 2. Grades beschrieben werden kann, unterliegt einem quadratischen Trend.
• Polynom 3. und höheren Grades Nach dem bekannten Schema kann der Grad des Polynoms durch die Aufnahme zusätzlicher Regressionsgewichte weiter erhöht werden. Grundsätzlich gilt dabei in vielen Fällen die Faustregel, dass mit jedem neuen Gewicht ab einschließlich dem Polynom 2. Grades eine weitere Extremstelle hinzukommt.
• Polynomiale Regression es wird versucht, eine empirische Zeitreihe so exakt und sparsam wie möglich mithilfe eines Polynoms zu beschreiben
• Methode der kleinsten Quadrate: Eine exakte Vorhersage ist dann geglückt, wenn die quadrierten Residuen, welche die quadrierte Differenz zwischen prognostiziertem und empirischem Wert über alle Zeitpunkte t beschreiben, möglichst minimal werden
• Trendbereinigung Welche Verfahren gibt es? PolynomapproximationGleitmittelwerteDifferencing
• Polynomapproximation nach exakter und sparsamer Trendschätzung mithilfe eines Polynoms müssen Residuen gebildet werden: Differenzen zwischen beobachteten und durch das Modell geschätzten Werten zu jedem Zeitpunkt t Dies kann aus bereits vorhandenem Output herausgelesen werden. Residualreihe behält interne Struktur, ist aber im Trend bereinigt -> sie osziliert um den MW 0
• Gleitmittelwert Bsp: Ein G(3)- Mittelwert setzt sich zum Beispiel aus dem zu betrachtenden Zeitpunkt t sowie den beiden benachbarten Zeitpunkten t-1 und t+1 zusammen. Da drei Messwerte in die Berechnung einfließen, handelt es sich um einen Gleitmittelwert 3. Ordnung. Residualreihe erstellen: Zeitreihe mit Gleitmittelwerten wird von der Originalzeitreihe für jeden Messzeitpunkt abgezogen werden
• Problem Gleitmittelwert Die Kurve der Gleitmittelwerte wird mit Anstieg der Ordnung flacher; leichte Fluktuationen werden geglättet und stärkere Abweichungen fallen weniger stark ins Gewicht. Jedoch wird auch die interne Struktur der Zeitreihe verändert. Die Ergebnisse bei Gleitmittelwerten höherer Ordnung und anschließender Analysen können durch die veränderte interne Struktur verzerrt werden. nützlich um Ausreißer im Rahmen einer lokalen Trendbereinigung zu glätten oder fehlende Werte in Zeitreihen zu ersetzen
• Differencing es wird so oft die Lag(1)-Reihe einer Zeitreihe gebildet, wie die Ordnung des Polynoms beträgt Liegt ein Polynom 2. Ordnung vor, so muss die Lag(1)-Reihe zwei Mal konsekutiv gebildet werden Schritt 1: Lag(1)-Reihe der Originalreihe bestimmen Schritt 2:  wird die Lag(1)-Reihe der neu entstandenen Lag(1)-Reihe gebildet Die Trendbereinigung erfolgt, indem die final gebildete Lag-Reihe von der Originalreihe abgezogen wird und so eine Residualreihe entsteht
• Womit wird überprüft, ob eine empirische Zeitreihe so exakt und sparsam wie möglich durch ein Polynom beschrieben wird? Mittels Methode der kleinsten Quadrate
• Was mache ich, wenn 2 Polynome meine Zeitreihe gleich gut beschreiben? ANOVA: Testung zweier Modelle gegeneinander es wird stets gegen das zweite Modell getestet - wird Ergebnis signifikant, ist Modell 1 zu verwerfen

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