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Statistik und Evaluation (Fach) / Wahrscheinlichkeitsbegriff (Lektion)
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- Für welche Arten von Ereignissen kann man Wahrscheinlichkeiten bestimmen? Wiederholbare Ereignisse • Müssen mit stabiler Häufigkeit auftreten für alle Elementarereignisse im Stichprobenraum und alle Ereignisse E, die der σ-(Sigma-)Algebra (die Menge aller Kombinationen von Ereignissen aus dem Stichprobenraum) angehören, kann man Wahrscheinlichkeiten bestimmen
- Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeitsdefinitionen nach LaPlace, von Mises und Kolmogoroff. LaPlace: Gleichwahrscheinlichkeit aller Ereignisse, Anzahl günstige durch Anzahl der möglichen Ereignisse Mises: Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Beobachtungen (relative Häufigkeiten), Geht von der Erfahrung aus, dass das Auftreten eines Ereignisses A bei längeren Versuchsreihen einer gewissen Gesetzmäßigkeit folgt, Wert nähert sich immer weiter der theoretischen Wkeit, je häufiger die Durchführung Kolmogorov: Axiomatische Definition: • Unmögliches Ereignis 0 • Sicheres Ereignis 1 • Disjunkte Ereignisse dürfen addiert werden, müssen nicht alle gleichmöglich sein, LaPlace Wkeit immer auch Kolmogorov, aber nicht umgekehrt.
- Erläutern Sie die Begriffe Zufallsexperiment, Stichprobenraum und Ereignisalgebra. Zufallsexperiment: Satz von Regeln unter denen eine Beobachtung stattfindet (Wir stellen uns an die Ampel und zählen wie viele Personen bei rot hinübergehen) Stichprobenraum •Menge aller möglichen Ereignisse (Bspw. Männer und Frauen) 𝜔 = {𝑀,𝐹} Ergebnisalgebra • Menge aller Kombinationen der Ereignisse plus das unmögliche Ereignis 𝜎 = {𝑀,𝐹,𝑀𝐹,∅}
- Was sind disjunkte Ereignisse, was unabhängige Ereignisse? Disjunktheit: Ereignisse haben keine Schnittmenge, ihre Schnittmenge ist das unmögliche Ereignis, also ihr gleichzeitiges Auftreten ist ein unmögliches Ereignis, d.h. die zwei Ereignisse schließen einander aus: man kann nicht gleichzeitig Kopf und Zahl beim Münzwurf bekommen Unabhängigkeit: Ereignisse die sich gegenseitig nicht beeinflussen (Ergebnis eines Münzwurfs beeinflusst nicht den nächsten), ob ich vorher Kopf oder Zahl habe, sagt nichts über den nächsten Münzwurf aus. Vorsicht: Disjunkte Ereignisse sind nicht unabhängig, zB ziehen ohne zurücklegen ist disjunkt, aber nicht unabhängig
- Welche wichtigen Sätze der Wahrscheinlichkeitslehre folgen aus Disjunktheit und Unabhängigkeit, und was besagen Sie? Multiplikationssatz: Durch Multiplikation der Grundwahrscheinlichkeit mit ihrer bedingten Wahrscheinlichkeit (Abhängigkeit) erhält man die Verbundwahrscheinlichkeit𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐵 𝐴 ∗ 𝑝(𝐴), wenn die beiden Ergebnisse abhängig voneinander sind, ansonsten darf man die Wahrscheinlichkeiten de rbeiden Ereignisse A und B einfach multiplizieren. Additionssatz: Ereignisse ohne Schnittmenge (disjunkt) dürfen addiert werden um die Wahrscheinlichkeit für eines der Ereignisse zu erhalten: Wkeit dass ich 1 oder 6 würfle: 1/6+ 1/6 = 2/6, wenn nicht disjunkt, dann mus verbundswkeit subtrahiert werden
- Was versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit (Beispiel)? man spricht von bedingten Wahrscheinlichkeiten, wenn man die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen explizit in Abhängigkeit vom Eintreten oder Nichteintreten anderer Ereignisse betrachtet Damit gibt die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis eintreten wird, vorausgesetzt das Ereignis B ist bereits eingetreten. 𝑝 𝐵 𝐴 = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑝(𝐴) Eine Lehrerin schrieb mit ihrer Klasse zwei Klausuren. 55% bestanden beide Klausuren; 72% nur die erste. Wie viel Prozent derjenigen, die den ersten Test bestanden haben, haben auch den zweiten Test bestanden?
- Was besagt der Satz von Bayes? Beschreibt wie man aus gegebener bedingter Wahrscheinlichkeit ohne Verbundwahrscheinlichkeit eine andere Berechnen kann 𝑝 𝐴 𝐵 = 𝑝 𝐵 𝐴 ∗ 𝑝(𝐴) / 𝑝(𝐵) Schülerin fährt 70% Bus, davon 80% pünktlich. Durchschnittlich ist sie 60% pünktlich. Sie ist pünktlich, mit welcher Wkeit ist sie Bus gefahren? > A. Bus, B: pünktlich, P ( A / B) = P ( B / A) * P (A) / P (B) = 0,93
- Was versteht man unter einer Kombination, was unter einer Permutation (Beispiele)? Bei einer Anordnung (Permutation) werden alle Elemente der Grundmenge betrachtet, wohingegen bei Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) nur eine Stichprobe der Grundmenge im Fokus des Interesses liegt. P: k = n V: geordnete Stichprobe K: ungeordnete Stichprobe Sind die Objekte untereinander unterscheidbar, so spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "ohne Wiederholung" (derselben Objekte). Falls die Objekte jedoch nicht unterscheidbar sind, spricht man von einer Permutation/Variation/Kombination "mit Wiederholung". Im Urnenmodell sagt man statt "ohne Wiederholung" einfach "ohne Zurücklegen" und zu "mit Wiederholung" entsprechend "mit Zurücklegen".
- Permutation: Beispiel ohne Wiederholung: In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? L: n! / (n-k)!, in diesem Fall 5!, also 5*4*3*2*1, da n * n-1 * n-2.. mit Wiederholung: In einer Urne befinden sich drei blaue und zwei rote Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? L: n hoch k, also
- Kombination: Beispiele ohne Wiederholung: In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Zurücklegen (= ohne Wiederholung) und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? L: n! / (n-k)! * k!, oder auch n über k mit Wiederholung: In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln mit Zurücklegen (= mit Wiederholung) und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? L: (n+ k-1)! / (n-1)! * k!, hier (5 + 3 -1)! / 4! * 3!
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- Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und einer Verteilungsfunktion? Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) : Gibt an wie sich Auftretenswahrscheinlichkeiten für exakte Trefferzahlen verteilen (Beispielsweise 6 mal die 3 Würfeln) Verteilungsfunktion F(x): Gibt an wie wahrscheinlich es ist eine bestimmte Trefferzahl oder eine geringere zu erzielen (Beispielsweise höchstens 6 mal die 3 Würfeln)
- Was versteht man unter einer Binomialverteilung, und in welcher Art Zufallsexperimenten tritt sie auf? Welche Parameter hat sie? Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, nur endlich viele Werte Parameter: •N (Ziehungen) •P (Wahrscheinlichkeit) •X (Treffer) Dichotomer Ausgang, geht nur, wenn Zufallsvariable nur 2 Werte annehmen kann, zB Münzwurf Ziehen mit zurücklegen, bei Bernoulli Experimenten
- Was ist eine Normalverteilung, in welcher Art Zufallsexperimenten tritt sie auf, und welche Parameter hat sie? Wie hängt sie mit der Binomialverteilung zusammen? Normalverteilung: Stetige Zufallsverteilung, glockenförmig Parameter: •µ (Erwartungswert) •σ(Standardabweichung) Polytomer Ausgang sie tritt in allen Zufallsexperimenten mit stetigen Variablen auf > Bei hinreichend großer Stichprobe nähert sich Binomial- und Normalverteilung an