Mathematik (Fach) / Sachrechnen (Lektion)

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Brinkmann Vorlesung bis 3.4.2.4

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  • Wie ist eine Problemaufgabe gekennzeichnet? 3 Komponenten: - einen Anfangszustand - einen erwünschten Endzustand (Zielzustand) - eine Barriere, die die Transformation vom Ausgangszustand in den Endzustand zunächst verhindert --> ob eine Aufgabe ...
  • Unterscheidung von Phasen beim Problemlösen nach ... Fokus: innermathematische Problemaufgaben – Verstehen der Aufgabe– Ausdenken eines Plans– Ausführen des Plans– Rückschau Für jede Phase Katalog heuristischer Fragen.
  • Phasen des Problemlösens nach Goleman (Basis: Ergebnisse ... 1. VorbereitungVertiefen in ein Problem, Sammeln und Analysieren vonInformationen, hierbei Offenheit im Denken (z. B.Sammeln möglichst unterschiedlicher Daten, Einnehmenverschiedener Sichtweisen, Entwickeln ...
  • Definiere: Modellbildung Bearbeitung von – in derRegel außermathematischen– Problemstellungen durchdie Einbettung ininnermathematischeKontexte
  • Beschreibe den Modellbildungskreislauf nach Blum (1985) ...  Realität                           Mathematik Realmodell          Mathematisieren         Mathematisches Modell   Strukturieren/            Interpretieren            ...
  • Wonach kann man Aufgaben des Sachrechnens einteilen? ... - nach mathematischen Inhalten - nach kontextuellen Kriterien - nach prozessorientierten Kriterien - nach Art/ Grad der Offenheit einer Aufgabe - nach Umfang der in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben ...
  • Welche mathematischen Inhalte werden in den Kernlehrplänen ... – Arithmetik und Algebra– Geometrie– Stochastik– Funktionen (wird oft zur Algebra gezählt)– inhaltsübergreifend
  • Wie kann man Aufgaben nach kontextuellen Kriterien ... Klassische Aufgabentypen  - Klassifikation nach Radatz & Schipper (1983) mit Blick aufdie Ernsthaftigkeit des verwendeten Kontextes  - Definitionsabwandlung mit Blick auf Modellbildungsaktivitätennach ...
  • Welche Klassifikation nehmen Radatz und Schipper mit ... eingekleidete Aufgaben In Worte gefasste Aufgabenkonstruktionen ohne konkretenRealitätsbezug, speziell Rechenrätsel, Textaufgaben In Textform dargestellte Aufgaben, bei denen die Sacheweitgehend bedeutungslos ...
  • Wie wird die Definition für eingekleidete Aufgaben ... Eingekleidete Aufgaben:• Der mathematische Kontext steht eindeutig im Vordergrund.• Auf ein Vorkommen der mathematischen Methode in derWirklichkeit wird nur hingewiesen.• Der komplette Modellbildungsprozess, ...
  • Wie wird die Definition für Textaufgaben von Förster ... Textaufgaben:• Die vorliegende Sachsituation kann durch ein denSchüler/innen bekanntes und naheliegendesmathematisches Modell erfasst und geklärt werden.• Mathematik wird angewandt.
  • Welche Ziele verfolgen eingekleidete Aufgaben? • Anwendung und Übung von Rechenfertigkeiten,• Befähigung zum korrekten Gebrauchen mathematischerFachbegriffe,• Beitrag zur Vertiefung des Verständnisses derRechenoperationen und der Zusammenhänge ...
  • Welche Ziele verfolgen Textaufgaben? • Förderung mathematischer Fähigkeiten (klassischesHauptziel)• Übersetzen lernen (eine der Hauptschwierigkeit für SuS) • Einfache Mathematisierungen können mit Hilfe vonTextaufgaben eingeübt ...
  • Welche Ziele verfolgen Sachaufgaben? • Echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischenSachsituationen, zu denen oft erst noch die Daten selbstgesammelt werden müssen:Funktion des Sachrechnens zur Umwelterschließung mit Hilfeder ...
  • An welcher Stelle im Modellbildungskreislauf nach ... Eingekleidete und Textaufgaben: Interpretieren Sachprobleme: Validieren
  • Welche Kritik wird an der klassischen Aufgabentypisierung ... a) Einteilung nicht mehr zeitgemäß: Die „Aufgabenlandschaft“ist vielfältiger geworden; nicht jede Aufgabe lässt sicheinem der drei klassischen Grundtypen zuordnen.b) Einteilung sehr „grob“: ...
  • Welche Aufgabentypen lassen sich nicht in klassischer ... – Kapitänsaufgaben (siehe 3.4.2)– Schätzaufgaben (siehe 3.4.2)– Fermi-Aufgaben (siehe 3.4.2)– Knobelaufgaben (siehe 3.3.2 und 3.4.2)
  • Nenne ein Beispiel zu d) Die Sache ist bei Textaufgaben ... Beispiel: Textaufgabe zu einer Einkaufssituation, z. B.:„Anna geht zum Bäcker und kauft 3 Brötchen zu je 20 Cent.Wie viel muss sie bezahlen?“– Für Kinder kann es bedeutsam sein, zu lernen, wie ...
  • Wie kann man Aufgaben nach der beschriebenen Situation ... – Sachaufgaben zu realen Situationen• einfache Sachaufgaben• Sachprobleme• Sachtexte• Projekte– Sachaufgaben zu fiktiven Situationen• Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren• Denk- ...
  • Was sind Merkmale "langer Textaufgaben" (nach Brinkmann)? ... • in Text gefasste Aufgaben,• Sache ist relevant,• mehrere Fragen zu einer Sachsituation (zwecks tieferemVerständnis des betrachteten Anwendungsbereichs),• fokussieren (nicht unbedingt, aber ...
  • Was sind Merkmale von Miniprojekten (bzw. Projektorientierten ... • „Zwischenformglied“ zwischen Lösen einer Sachaufgabe und derDurchführung eines Projektes,• Einschränkung der ursprünglichen Komplexität eines Problems aufvorwiegend ausgewählte mathematische ...
  • Welche Lernziele werden mit Miniprojekten verfolgt? ... • Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwendenmath. Kompetenzen,• Beitrag zum Erlernen math. Modellierens,• Beitrag zur Realisierung zentraler Bildungs- undErziehungsziele (z. B. Entwicklung ...
  • Welche Haupttätigkeiten werden bei Miniprojekten ... • Analysieren von realen Sachsituationen,• Bestimmen und Formulieren von (Problem-) Aufgaben,• Lösen einer oder mehrerer mathematischer Aufgaben,• Organisieren, Besorgen von Material, Daten u. ...
  • Nenne ein Beispiel für ein Miniprojekt. Plane deine „Traumwohnung“ und zeichne den Grundriss im Maßstab1:50 oder 1:100 unter Einhaltung folgender Bedingungen:• Die Wohnfläche sollte zwischen 100 m² und 200 m² liegen.• Jeweils mindestens ...
  • Welche Merkmale hat eine Projektarbeit? • Alle Aktivitäten sind auf eine reale Sachsituation gerichtet,möglichst keine nennenswerte Einschränkung derursprünglichen Komplexität eines Problems,• Orientierung an den Interessen der Beteiligten,• ...
  • Welche Lernziele werden mit einer Projektarbeit verfolgt? ... • Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwenden vonLernkompetenzen aus verschiedenen Fächern sowie vonAlltagswissen,• echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischenSachsituationen (Funktion ...
  • Welche Haupttätigkeiten werden bei der Projektarbeit ... • Analysieren von realen Sachsituationen,• Bestimmen und Formulieren von (Problem-) Aufgaben,• Finden von Lösungsansätzen, Aufstellen einesLösungsplanes,• Beschaffen von Daten, Organisieren ...
  • Nenne Merkmale des Schätzens. Schätzen in diesem Zusammenhang bedeutet dasnäherungsweise Bestimmen von quantifizierbaren Daten(ohne exaktes Messen, nur auf Erfahrung gestützt).– Schätzen kann erfolgen, indem man gedanklich feststellt, ...
  • Was ist Abschätzen? gedankliches Bestimmen von 2 Näherungswerten für einebestimmte Anzahl von Dingen, und zwar einer unteren undeiner oberen SchrankeBeispiel: 300 < 325 < 400
  • Was ist Messen? – Messen heißt feststellen, wie oft ein Repräsentant einer(als Einheit dienenden) Größe in einem Repräsentanteneiner anderen Größe gleicher Art enthalten ist.– Messungen basieren auf Konventionen, ...
  • Wie können Schätzaufgaben dargestellt werden? – Schätzgröße nicht als Foto, sondern nur gedanklich vorhanden („Wie viele Kürbisse wachsen auf einem Kürbisfeld?“)– Schätzgröße als Foto vorhanden:– als konkrete Gegenstände
  • Sind Messungen eigentlich auch Schätzungen? – Physikalische Größen können nur mit einer durch dieMessinstrumente bedingten Genauigkeit gemessenwerden.– Bei jeder Messung sollte man also vorher festlegen,welchen Toleranzbereich für die Genauigkeit ...
  • einfache Schätzaufgabe Bsp. Wie lang ist ein Traktoranhänger? • eine Größe (Länge) z. B. durch gedanklichen Vergleichermitteln• Problem: jeder Anhänger ist unterschiedlich
  • komplexe Schätzaufgabe • es wird mit mind. zwei Größen gearbeitet„Wie groß ist die Ladefläche eines Traktoranhängers?“– entweder Vergleich mit einer geeignetenStützpunktvorstellung (z. B. Quadratmeter) oder Schätzenvon ...
  • Enrico Fermi • Fermi-Aufgaben gehen auf den italienischen Physikerund Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901 – 1954)zurück.• Er interessierte sich bei seinen Studenten erst einmalfür deren Denkvermögen und ...
  • Fermi- Aufgaben • unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustandaber unklarem Anfangszustand• Transformation ebenfalls unklar• die Datenbeschaffung – meist durch mehrfachesSchätzen – steht im Vordergrund• ...
  • Woran erkennt man Fermi- Aufgaben? – Fermi-Aufgaben sind realitätsbezogen  • beginnen oft mit: Wie viel, Wie oft, Wie groß...  • es geht häufig um Probleme des Zählens oder Ermittelns von     Größen in Alltagssituationen ...
  • Was wird durch Fermi- Aufgaben gefördert? – Selbstständigkeit,– Kooperationsfähigkeit,– Problemlösekompetenzen (strategisches Denken),– Fähigkeiten im Argumentieren,– Fähigkeiten im Umgang mit „Unsicherheiten“, „Unkorrektem“, ...
  • Aufgaben zu einem Teilschritt des Modellierungskreislaufs ... Vorrangiges Lernziel:Erwerb/Einüben von Teilkompetenzen des Modellierens Beispiele:– Mathematisierungsaufgabe– Interpretationsaufgabe bzw. Interpretations- und Validierungsaufgabe– Validierungsaufgabe ...
  • Kapitänsaufgaben … sind Aufgaben, die mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben nicht lösbar sind. Klassisches Beispiel:Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen.Wie alt ist der Kapitän?
  • Welche Beobachtungen können bei Schülern beim Lösen ... • Schüler lösen diese Aufgaben häufig, weil sie „gelernt“ haben, dass jedeMathematikaufgabe eine Lösung haben muss,• sie sehen die Arithmetik in der Schule ohne Beziehungshaltigkeit zurRealität,• ...
  • Wie gehen Schüler beim Lösen von Kapitänsaufgaben ... – verknüpfen die Angaben aus der Aufgabe, weil sie gut zueiner mathematischen Operation passen, weil sie einGebiet gerade im Unterricht hatten, weil das immer sogemacht wird, ...– suchen nach versteckten ...
  • Warum sollten Kapitänsaufgaben in der Schule eingesetzt ... – kritischer Umgang mit Textaufgaben und Zahlen– die Sinnhaftigkeit von Aufgaben hinterfragen– lernen, dass nicht jede Aufgabe lösbar sein muss
  • Knobelaufgaben • Rätselcharakter• Günstige Modellierungen/strategische Vorgehensweisen nichtoffensichtlich• Oftmals fiktive/künstliche Sachsituation
  • Haupttätigkeiten beim Lösen von Knobelaufgaben • Kleinschrittiges und versuchsweises Bedenken einesProblems,• Analysieren eines Textes,• Übersetzen des Textes in eine mathematische Struktur,• Anwenden verschiedener Problemlösestrategien
  • Einteilung nach Art/ Grad der Offenheit einer Aufgabe ... • Geschlossene Aufgaben: fordern einen eingleisigenRechenweg, haben eine eindeutige Lösung …• Offene Aufgaben: mehrere Lösungswege und/oderverschiedene Lösungen möglich Es gibt zwei Klassifizierungen ...
  • Klassifizierung nach Grad der Offenheit einer Aufgabe ... vollständig gelöste Aufgabe (Stimmt das? Wo steckt der Fehler?) Grundaufgabe (Löse die quadratische Gleichung...) Umkehrung der Grundaufgabe (gib eine quadratische Gleichung an,...) Bestimmungsaufgabe ...
  • Klassifizierung der Offenheit einer Aufgabe nach Greefrath ... ProblemsituationUnscharfes ProblemInterpretationsproblemStrategiefindungsproblemInterpretationsaufgabeEinfache offene AufgabeAufgabe erfindenAnfangssituation erfinden
  • Einteilung der Aufgabe nach Umfang der in der Aufgabenstellung ... Überbestimmte Aufgaben:Aufgabentexte/Aufgabenstellungen enthalten Angaben, diezur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich sind. Unterbestimmte Aufgaben:Nicht alle Informationen, die zur Lösung der Aufgabebenötigt ...
  • Hauptursachen für Schwierigkeiten von SuS beim Sachrechnen ... • Sachstrukturen:(z. B. Größenbereiche sind unklar, Sachstruktur ist zu komplex,Inhalt der Aufgabe ist unbekannt, Sachzusammenhänge sindunklar) • Sprachlich-syntaktische Struktur:(z. B. Schwierigkeiten ...