Mathematik (Fach) / Analysis I (Lektion)

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Uni Kiel, 1. Semester

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  • Extensionalitätsprinzip Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten
  • Potenzmenge Jede Menge X hat eine Potenzmenge, die als Elemente genau die Teilmengen von X besitzt. Bsp.: X = {1,2,3} P(X) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} X hat 3 Elemente und P(X) hat 8 Elemente
  • disjunkt A∩B = ∅
  • Komplement X ist eine feste Grundmenge, A ist eine Teilmenge von X. AC= X\A
  • Kommutativität A∪B = B∪A A∩B = B∩A
  • Assoziativität (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
  • Distributivität (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
  • de Morgan'sches Gesetz Falls A und B Teilmengen einer festen Menge X sind, so gilt (AUB)C = AC∩BC (A∩B)C = ACUBC
  • Geordnete Paare zwei mathematische Objekte, die ein Paar bilden bestehen aus 2 Komponenten
  • Kartesisches Produkt AxB := {(a,b)|a∈A, b∈B} Bsp.: {1,2}x{0,1,2} = {(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
  • Relationen Sind A und B Mengen, so heißt jede Teilmenge R von AxB eine (zweistellige) Relation Bsp.: {(n,m) ∈ N×N | n≤m} ⊆ N×N
  • Definitionsbereich einer Funktion Ausgangsmenge
  • Wertebereich einer Funktion {f(x) | x∈X} = {y∈Y | ∃x∈X : y=f(x)}
  • Graph einer Funktion graph(f) := {(x,f(x)) | x∈X} ⊆ X×Y
  • identische Abbildung idX:X→X, idX(x)=x (x∈X)
  • Bild/-menge Seien X,Y Mengen und f:X→Y eine beliebige Abbildung. Ist A⊆X, so heißt f(A) := {f(a) | a∈A} das Bild.
  • Urbild/-menge Seien X,Y Mengen und f:X→Y eine Abbildung. Ist A⊆X und B⊆Y so heißt f−1(B) := {a∈X | f(a)∈B} das Urbild
  • Rechengesetze für Teilmengen/Bild/Urbild Seien f : X → Y eine Abbildung, A,A′ ⊆X und B,B′ ⊆Y. f−1(B∪B′) = f−1(B)∪f−1(B′) f−1(B∩B′) = f−1(B)∩f−1(B′) f−1(Bc) =(︀f−1(B))︀c f(A∪A′) = f(A)∪f(A′) ...
  • injektiv x,y∈X, f(x)=f(y) ⇒ x=y
  • surjektiv f(X)=Y ist, d.h. ∀y∈Y ∃x∈X : f(x)=y
  • bijektiv injektiv und surjektiv die Umkehrabbildung f−1:Y→X ist definiert durch: f−1(y) := das eindeutig bestimmte x∈X mit f(x)=y
  • Permutation Eine bijektive Abbildung einer Menge X auf sich selbst
  • Komposition Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. (g∘f) : X→Z (g∘f)(x) := g(f(x)) (x∈X) Die Komposition von Abbildungen ist Assoziativ. Ist sie bijektiv, so gilt: (g∘f)−1 = f−1∘g−1 ...
  • Verknüpfung MxM → M + : N×N→N, (m,n) ↦ m + noder· : Z×Z→Z, (m,n) ↦ m·n
  • Formel für natürliche Zahlen dn = n(n+1) / 2 Dreieckszahl
  • geometrische Summenformel (1−x)(1+x+...+xn−1) = 1−xn
  • Induktionsanfang Zeige, dass die Aussage E(1) richtig ist
  • Induktionsschritt Zeige, dass für jedes n∈N die Aussage E(n+1) zumindest dann richtig ist, wenn schon die Aussage E(n) richtig ist
  • Induktionsvoraussetzung die Aussage E(n), die man im Induktionsschritt für eine gegebene Zahl n∈N als richtig unterstellt
  • Kardinalität Anzahl der Elemente einer Menge
  • Seien A und B endliche Mengen derselben Kardinalit¨ ... Für eine Abbildung f:A→B sind folgende Aussagen äquivalent: (i) f ist injektiv. (ii) f ist surjektiv. (iii) f ist bijektiv.
  • leere Summe n-1  ∑︁   xj := 0j=n
  • geometrische Summenformel (Summenzeichen)          n-1 (1-x)   ∑︁   xj := 1-xn         j=0
  • n ( ) = ? k     n!     _______ k!(n-k)!