∪{S} = S = ∩{S}

Denn:

x ∈ ∪{S} ⇔ ∃ T ∈ {S} x ∈ T

⇔ x ∈ S

⇔ ∀ T ∈ {S} x ∈ T

⇔ x ∈ ∩{S}